Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом: Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.
В противном случае интегралы расходятся.

Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится.

Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞). Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.

Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

   Пример 1

Определить, при каких значениях k интеграл сходится. Используя определение несобственного интеграла, можно записать Из этого выражения видно, что существует 2 случая:

   Пример 2

Вычислить интеграл . Следовательно, данный интеграл сходится.

   Пример 3

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ? Заметим, что для всех x ≥ 1. Поскольку интеграл сходится (смотрите пример 1), то искомый интеграл также сходится по теореме сравнения 1.

   Пример 4

Вычислить интеграл . Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x = 0. (Интересно, как долго можно терпеть такое?). Поэтому, представим данный интеграл как сумму следующих двух интегралов: По определению несобственного интеграла получаем Исследуем первый интеграл. Поскольку он расходится, то весь интеграл также расходится.

   Пример 5

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ? Запишем интеграл в виде следующей суммы: Используя определение несобственного интеграла, получаем Как видно, оба предела существуют и конечны. Следовательно, искомый интеграл сходится.

   Пример 6

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ? Запишем очевидное неравенство для модулей: Легко показать, что интеграл сходится (смотрите также пример 1). Действительно, Следовательно, делаем вывод, что интеграл сходится по теореме сравнения 1. Тогда искомый интеграл также сходится (причем абсолютно) по теореме сравнения 3.

   Пример 7

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ? В данном интеграле подынтегральная функция имеет разрыв при x = 2. Поэтому, рассмотрим следующих два несобственных интеграла: По определению получаем Найдем первый интеграл. Поскольку этот интеграл расходится, то искомый интеграл также расходится.

   Пример 8

Определить, при каких значениях k интеграл сходится. Подынтегральное выражение имеет разрыв в точке x = 0, поэтому мы запишем интеграл в виде Как видно из полученного выражения, возможны 2 случая:

   Пример 9

Найти площадь под кривой y = ln x в интервале от x = 0 до x = 1. Данная область схематически изображена на рисунке 1. Для нахождения площади этой бесконечной области нужно вычислить несобственный интеграл Интегрируем по частям. Пусть u = ln x, dv = dx. Тогда . Следовательно, Для вычисления полученного предела используем правило Лопиталя. Таким образом, несобственный интеграл равен Из рисунка видно, что площадь фигуры равна .

   Пример 10

Вычислить периметр единичной окружности. Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат на 4.

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат имеет вид Дуга окружности в первой четверти (рисунок 2) описывается функцией Найдем производную данной функции. Длина дуги определяется формулой . Следовательно, Теперь вычислим полученный несобственный интеграл . Таким образом, периметр единичной окружности равен .