Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y: Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде или через дифференциалы: где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка. Функция P(x,y) называется однородной функцией порядка n, если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение: Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.


Дифференциальное уравнение вида преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:

   Пример 1

Решить дифференциальное уравнение . Нетрудно заметить, что многочлены P(x,y) и Q(x,y), соответственно, при dx и dy, являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным.

Положим y = ux, где u − некоторая новая функция, зависящая от x. Тогда Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем Следовательно, Разделим обе части уравнения на x: Выполняя деление x, мы могли потерять решение x = 0. Прямая подстановка показывает, что x = 0 действительно является одним из решений нашего уравнения.

Интегрируем последнее выражение: где C − постоянная интегрирования.

Возвращаясь к старой переменной y, можно записать: Таким образом, уравнение имеет два решения:

   Пример 2

Решить дифференциальное уравнение . Заметим, что корень x = 0 не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме: Как видно, уравнение является однородным.

Сделаем замену y = ux. Следовательно, Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение: Разделим обе части на x ≠ 0: В результате мы получаем уравнение с разделяющимися переменными: На следующем шаге проинтегрируем левую и правую части уравнения: Следовательно, Постоянную C здесь можно записать как ln C₁ (C₁ > 0). Тогда Таким образом, мы получили два решения: Если C₁ = 0, то ответом является функция y = xe. Легко убедиться, что эта функция будет также и решением дифференциального уравнения. В самом деле, подставляя в дифференциальное уравнение, находим: Таким образом, все решения дифференциального уравнения можно представить одной формулой: где C − произвольное действительное число.

   Пример 3

Решить дифференциальное уравнение . Здесь мы снова встречаемся с однородным уравнением. В самом деле, запишем его в виде: Сделаем подстановку y = ux. Тогда y' = u'x + u. Подставляя y и y' в исходное уравнение, получаем: Разделим обе части уравнения на ux². Заметим, что корень x =0 не является решением, но можно убедиться, что корень u = 0 (или y = 0) будет одним из решений данного дифференциального уравнения.

В результате получаем: Интегрируя, находим общее решение: Учитывая, что , последнее выражение можно записать в форме Обратная функция x(y) имеет явный вид: Поскольку C − произвольное число, знак "минус" перед этой константой можно заменить на знак "плюс". Тогда получаем: Таким образом, дифференциальное уравнение имеет решения:

   Пример 4

Решить дифференциальное уравнение . Из вида правой части уравнения следует, что x ≠ 0 и y ≠ 0. Можно сделать подстановку: y = ux, y' = u'x + u, которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными: Интегрируя данное уравнение, получаем: Переобозначим 2C просто как постоянную C. Следовательно, Итак, общее решение записывается в виде:

   Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения . Как видно, данное уравнение является однородным. Поэтому, воспользуемся подстановкой y = ux, y' = u'x + u. В результате уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными: Разделим обе части на x³. (Заметим, что корень x = 0 не является решением). Теперь можно проинтегрировать последнее уравнение: Так как u = y/x, то решение записывается в виде: Отсюда следует, что Переобозначим для краткости: e^C = C₁, (C₁ > 0). Тогда решение в неявной форме определяется уравнением: где постоянная C₁ > 0.

   Пример 6

Решить уравнение . Видно, что числитель и знаменатель в правой части соответствуют пересекающимся прямым. Поэтому данное дифференциальное уравнение можно преобразовать в однородное путем соответствующего преобразования координат. Пусть новые и старые координаты связаны соотношениями: Константы α и β мы определим позже. Подставляя указанные соотношения в уравнение, получаем: В новых координатах дифференциальное уравнение принимает вид: Данное уравнение будет однородным, если коэффициенты α и β будут удовлетворять системе уравнений Решая данную систему уравнений относительно α и β, находим: При указанных значениях α и β дифференциальное уравнение записывается следующим образом: Мы получили однородное уравнение. Далее делаем замену: Y = uX, где u − некоторая функция X. Следовательн, dY = Xdu + udX. В итоге мы имеем: Разделим числитель и знаменатель в правой части на X. Можно проверить, что X = 0 или x = X + α = −1/2 не является решением дифференциального уравнения.

Простые преобразования приводят к следующему результату: Разложим квадратичную функцию в числителе дроби в правой части на произведение одночленов: Следовательно, Тогда Разделяя переменные, можно записать: Интегрируем полученное уравнение: Теперь преобразуем подынтегральное выражение в левой части. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов и разложим подынтегральное выражение на сумму рациональных дробей: Следовательно, Таким образом, дифференциальное уравнение записывается в следующем виде: После интегрирования обеих частей получаем: где постоянная C является положительным действительным числом.

Перепишем решение через переменные X и Y: Далее удобно обозначить: 5lnC = lnC₁, где C₁ − произвольное положительное число. Таким образом, решение можно записать в виде: Теперь мы можем вернуться к первоначальным переменным x,y. Так как то получаем: Правую часть можно снова несколько упростить: Тогда окончательное общее решение исходного дифференциального уравнения выражается следующей неявной формулой: где постоянная C₃ − любое число, не равное нулю.

   Пример 7

Найти общее решение дифференциального уравнения . Можно заметить, что уравнения прямых в числителе и знаменателе в правой части соответствуют параллельным прямым. Поэтому, сделаем следующую замену переменных: В результате дифференциальное уравнение принимает вид: Как видно, мы получили простое уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим ответ: Из последнего выражения можно вывести явную функцию y(x): Таким образом,