Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел {a_n} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.

Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к , если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1.

   Пример 1

Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ... Здесь a₁ = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем

   Пример 2

Найти сумму ряда . Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна

   Пример 3

Найти сумму ряда Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой то получаем следующий результат:

   Пример 4

Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом. Запишем периодическую дробь в следующем виде: Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , получаем

   Пример 5

Показать, что при условии x > 1. Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу , левую часть можно записать в виде что доказывает исходное соотношение.

   Пример 6

Решить уравнение Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Тогда уравнение принимает вид Находим корни квадратного уравнения: Поскольку |x| < 1, то решением будет .

   Пример 7

Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии. Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии Так как второй член прогрессии равен , то получаем следующую систему уравнений для определения a₁ и q: Решая систему, получаем квадратное уравнение: Это уравнение имеет два корня: Для каждого знаменателя q найдем соответствующие первые члены: Таким образом, задача имеет два решения: