Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора то площадь поверхности будет равна где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность.

Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy.

Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

   Пример 1

Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy. Площади заданной поверхности равна Переходя к полярным координатам, находим ответ:

   Пример 2

Найти площадь полусферы радиуса R. В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в виде где (рисунок 1).
Вычислим дифференциальный элемент площади. Найдем векторное произведение данных векторов: Следовательно, элемент площади будет равен Отсюда вычисляем площадь полусферы:

   Пример 3

Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах. Параметрические уравнения тора имеют вид (рисунок 2): Убедимся, что эти уравнения правильно описывают окружность в сечении тора. Действительно, поскольку , то после подстановки получаем Таким образом, поверхность тора описывается следующим вектором: Для вычисления площади поверхности воспользуемся формулой Входящее в эту формулу векторное произведение имеет вид Тогда модуль векторного произведения равен Отсюда находим площадь поверхности тора:

   Пример 4

Вычислить объем эллипсоида . Для нахождения объема используем формулу Поверхность эллипсоида можно представить в параметричсекой форме следующим образом: (Переменные u,v соответствуют сферическим координатам ψ и θ.)
В формуле для объема векторное поле имеет координаты , поэтому Поскольку то получаем следующее выражение для поверхностного интеграла Следовательно, объем эллипсоида равен