Геометрические приложения криволинейных интегралов

Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом где − производная, а − компоненты векторной функции .

Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой Если кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости Oxy, то длина такой кривой вычисляется по формуле Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением , и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy (рисунок 1). Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.

Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде , то площадь соответствуюшей области равна Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости y ≥ 0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R вокруг оси Ox образуется тело Ω (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами

   Пример 1

Найти длину кривой при условии . Запишем функцию в виде или . Поскольку y ≥ 0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой (рисунок 3). Длина кривой равна

   Пример 2

Вычислить длину астроиды . Астроида показана выше на рисунке 4. В силу симметрии, достаточно вычислить длину кривой, лежащей в первом квадранте, и затем умножить результат на 4. Уравнение астроиды в первом квадранте имеет вид Тогда и, следовательно, Таким образом, длина всей астроиды равна

   Пример 3

Найти длину пространственной кривой, заданной параметрически в виде , где . Используя формулу получаем

   Пример 4

Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале (рисунок 5). Воспользуемся формулой Здесь производные равны Тогда длина циклоиды имеет значение

   Пример 5

Вычислить длину параболы в интервале . Применяя формулу находим, что Для вычисления полученного интеграла сделаем замену . Следовательно, . При x = 0 получаем  t = arctg 0 = 0, а при x = 1 − соответственно, t = arctg 2. Тогда длина участка параболы равна Сделаем еще одну замену. Положим . Если t = 0, то z = 0. Если , то В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение В результате длина кривой равна Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей. Следовательно, Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты Таким образом,

   Пример 6

Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением (рисунок 6). Используем соотношение Длина кардиоиды выражается в виде Заметим, что при , и при . Следовательно, Записывая последний интеграл в виде суммы 2 интегралов, находим длину кардиоиды.

   Пример 7

Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2 (рисунок 7). Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла. Найдем отдельно каждый из интегралов. Следовательно, плошадь заданной области равна

   Пример 8

Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде (рисунок 8). 1) Применим сначала формулу . Получаем Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы:

   Пример 9

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = 2π, y = 0. Данное тело вращения схематически показано на рисунке 9. Объем этого тела найдем по формуле Вычислим криволинейные интегралы Следовательно, объем тела равен

   Пример 10

Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями a и b вокруг оси Оx. (рисунок 10). Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости y ≥ 0. Тогда объем эллипсоида с полуосями a, b, b будет равен где под функцией y(x) подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом a = b = R) равен .