Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку , преобразуем ее в функцию определенную и интегрируемую в интервале [−π, π]. Разложение в ряд Фурье для функции F (y) имеет вид Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая , получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции f (x): где Если функция f (x) определена в интервале [a,b], то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой где , а коэффициенты вычисляются следующим образом: Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале [− L, L], имеет вид где Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале [− L, L], выражается формулой где коэффициенты Фурье равны

   Пример 1

Найти разложение в ряд Фурье функции Определим коэффициенты разложения: Можно заметить, что для четных n = 2k, k = 1, 2, 3, ... Для нечетных n = 2k − 1, k = 1, 2, 3, ... Следовательно, разложение в ряд Фурье имеет вид (рисунок 1)

   Пример 2

Найти разложение в ряд Фурье функции: Здесь L = 1. Следовательно, можно записать Вычислим коэффициенты a_n: Определим теперь ы b_n: В результате получаем следующее выражение для ряда Фурье (рисунок 2):

   Пример 3

Найти разложение в ряд Фурье трапециевидной волны, заданной функцией В данном случае, очевидно, L = 3/2. Вычислим коэффициенты разложения a₀ и a_n. Так как , то получаем Коэффициенты b_n равны нулю, поскольку функция четная на заданном интервале [0,3]. Тогда разложение в ряд Фурье выражается формулой График данной функции и аппроксимации Фурье при n = 1 и n = 3 показаны на рисунке 3.

   Пример 4

Найти разложение в ряд Фурье функции . Данная функция − четная и имеет период π (L = π/2). Поэтому b_n = 0. Определим коэффициенты a₀ и a_n. Однако полученный результат справедлив лишь при n ≥ 2. Поэтому рассчитаем a₁ отдельно. Таким образом, разложение в ряд Фурье функции имеет вид Полученное выражение является хорошо известным тригонометрическим тождеством.