Первые интегралы

Рассмотрим систему n-го порядка где f_i (t, x₁, x₁, ..., x_n) являются непрерывно дифференцируемыми действительными функциями, заданными в некоторой области D ∈ ℜⁿ⁺¹. В векторной форме данная система записывается как Пусть в области D определена также непрерывно дифференцируемая векторная функция U(t, X). Производная векторной функции U(t, X) по направлению векторного поля f(t, X) (производная Ли) определяется выражением где grad U − градиент функции U, а (grad U, f) обозначает скалярное произведение векторов grad U и f.

Введенная производная по направлению векторного поля (производная Ли) является обобщением понятия производной по постоянному направлению, которая широко используется при исследовании функций нескольких переменных.

Если непостоянная функция U(t, X) удовлетворяет соотношению для всех X ∈ D, то она называется первым интегралом системы.

В случае автономных систем (когда правые части уравнений f_i не зависят явно от переменной t), первый интеграл определяется более простым выражением: где C − постоянное число. Далее мы ограничимся рассмотрением автономных систем.

Как видно, первый интеграл остается постоянным вдоль любого решения X(t). Другими словами, фазовые траектории X(t) системы лежат на одной из поверхностей уровня первого интеграла U(X). В случае системы второго порядка это будут линии уровня первого интеграла.

Предположим, что для автономной системы порядка n найдено k первых интегралов: Можно показать, что композиция где Φ − произвольная непрерывно дифференцируемая функция, также будет являться первым интегралом системы. В общем случае существует бесконечное множество первых интегралов. Из этого множества можно выделить функционально независимые первые интегралы.

Первые интегралы U₁(X), U₂(X), ..., U_k(X), определенные в области D ∈ ℜⁿ, называются функционально независимыми, если для всех X ∈ D ранг матрицы Якоби равен количеству функций k: Для автономной системы 2-го порядка существует один независимый первый интеграл, который определяет решение системы в неявном виде. Для системы n-го порядка всего существует n − 1 независимых интегралов. Если известно k первых интегралов такой системы, то ее порядок можно понизить до (n − k). Нахождение первых интегралов представляет собой один из основных методов решения нелинейных автономных систем. Для того, чтобы найти первые интегралы, уравнения системы с помощью подходящих арифметических операций преобразуются к виду где левая часть представляет собой производную Ли от некоторой функции U(X), а правая часть равна нулю. Первый интеграл U(X) находится в результате интегрирования данного выражения. Каждая интегрируемая комбинация позволяет определить один первый интеграл. Для нахождения первых интегралов иногда удобно записать исходную систему в т.н. симметричной форме: Здесь предполагается, что функции f₁, f₂, ..., f_n в знаменателях не равны нулю в области определения D ∈ ℜⁿ.

В такой записи некоторые пары отношений могут допускать интегрирование, например, методом разделения переменных. Другой способ решения системы в симметричной форме заключается в использовании свойства равных дробей где предполагается, что  λ₁b₁ + λ₂b₂ + ... + λ_nb_n ≠ 0, а числа λ₁, λ₂, ..., λ_n выбираются таким образом, чтобы числитель представлял собой дифференциал знаменателя или был равен нулю.

   Пример 1

Решить систему уравнений Запишем систему в виде Сложив оба уравнения, получаем Отсюда находим первый интеграл системы: где C₁ − произвольное число, не равное нулю.

Выразим решения x(t), y(t) в явном виде. В первое уравнение подставим выражение y = C₁/x и проинтегрируем: где C₂ ≠ 0 − произвольная постоянная.

Теперь найдем выражение для y(t): Окончательный ответ:

   Пример 2

Решить систему уравнений Запишем систему в симметричной форме: Разделив обе части на 1/xy, получаем уравнение, допускающее интегрирование: Данное соотношение является первым интегралом системы. Выразим переменную y через x и подставим в первое уравнение системы: Заменим −2C₁C₂ на C₂: Решением является положительное значение корня, поскольку по условию задачи x > 0: Найдем теперь функцию y(t): Итак, общее решение системы имеет вид:

   Пример 3

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Преобразуем уравнения системы, чтобы получить интегрируемые комбинации. Разделим второе уравнение на первое: В результате получен первый интеграл системы.

Аналогично, разделив третье уравнение на второе, найдем еще один первый интеграл: Очевидно, оба первых интеграла независимы.

Найдем теперь решения x(t), y(t), z(t) в явном виде. Подставим выражения для x и z, соответственно, из первого и второго интеграла, в первое уравнение системы: Далее легко определить решения y(t) и z(t):

   Пример 4

Найти общее решение системы с помощью первых интегралов Запишем систему уравнений в симметричной форме: Используя свойство равных дробей, получаем Еще одну интегрируемую комбинацию можно получить в результате следующих преобразований: Итак, найдены 2 первых интеграла системы: Убедимся, что оба интеграла являются независимыми. Вычислим ранг матрицы-якобиана: т.е. ранг равен количеству первых интегралов. Следовательно, найденные интегралы определяют в неявном виде общее решение системы.