Четные и нечетные продолжения

Предположим, что f (x) является кусочно-непрерывной функцией, заданной в интервале [0, π]. Чтобы найти разложение данной функции в ряд Фурье, нужно продолжить ее и построить в интервале [−π, π]. Это можно сделать двумя способами:

1. можно построить четное продолжение f (x):
   
2. или построить нечетное продолжение f (x):
   

В случае четной функции разложение в ряд Фурье описывается выражением где В случае нечетной функции, соответственно, получаем где коэффициенты разложения равны Понятие четного и нечетного продолжения функции можно ввести и для непериодической функции. Пусть функция f (x) определена в интервале [0, L]. Используя четное продолжение данной функции на интервал [− L, L], получим следующую формулу разложения в ряд Фурье: где В случае нечетного продолжения соответствующая формула имеет вид где коэффициенты b_n равны

   Пример 1

Разложить по четным гармоникам функцию Разложить функцию по четным гармоникам − это значит построить четное продолжение заданной функции. Соответствующий ряд Фурье будет иметь вид Вычислим коэффициенты a₀ и a_n: Таким образом, разложение ступенчатой функции в ряд Фурье по четным гармоникам определяется выражением График данной функции и Фурье аппроксимации для случаев n = 5 и n = 50 приводятся на рисунке 1.

   Пример 2

Построить разложение в ряд Фурье по четным гармоникам для функции Используя четное продолжение первоначально заданной функции, можно записать Коэффициенты Фурье a₀ и a_n имеют значения: Следовательно, Фурье разложение по четным гармоникам имеет вид (рисунок 2):

   Пример 3

Построить нечетное продолжение функции , заданной в интервале [0, π]. Поскольку мы применяем нечетное продолжение, разложение в ряд Фурье будет иметь вид Коэффициенты b_n равны Здесь мы учли, что Найденное выражение для ов b_n верно при n ≥ 2. Если n = 1, то получаем Кроме того, можно заметить, что для нечетных n = 2k + 1. Для четных значений индекса n = 2k справедливо выражение Таким образом, разложение в ряд Фурье по нечетным гармоникам имеет вид (рисунок 3):

   Пример 4

Построить нечетное продолжение функции , заданной в интервале [0, π]. Для нечетного продолжения ряд Фурье записывается в виде Найдем коэффициенты b_n: Применяя интегрирование по частям, получаем Поскольку то выражение для коэффициентов b_n упрощается: Последняя формула верна при n ≥ 2. Заметим, что для четных n = 2k, , а для нечетных n = 2k + 1, , где k = 1, 2, 3, ...

Вычислим отдельно b₁: Итак, разложение в ряд Фурье по нечетным гармоникам определяется формулой На рисунке 4 (выше) показана исходная функция и ее Фурье аппроксимации при n = 1 и n = 2.