Уравнения, решаемые в квадратурах

Говорят, что дифференциальное уравнение решается в квадратурах, если его общее решение выражается через один или несколько интегралов.

Далее мы рассмотрим три типа уравнений высшего порядка, которые интегрируются в квадратурах. Предположим сначала, что данное уравнение можно преобразовать в явную форму относительно производной y⁽ⁿ⁾, т.е. выразить в виде Проинтегрируем это уравнение последовательно n раз в пределах от x₀ до x. Получаем следующие выражения для производных и для самой функции y(x): Последняя формула представляет собой общее решение дифференциального уравнения в квадратурах. При x = x₀ мы получим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям где C₁, C₂,..., C_n − некоторый заданный набор чисел.

Повторный интеграл в выражении для y(x) можно преобразовать к однократному интегралу. Действительно, в случае n = 2 рассмотрим интеграл в котором через τ обозначена переменная интегрирования во внутреннем интеграле.

Данный повторный интеграл задан в треугольной области D(x, τ), изображенной на рисунке 1. В этом интеграле можно поменять порядок интегрирования, используя формулу Дирихле: В результате двукратный интеграл сводится к однократному: Аналогичным образом можно упростить трехкратный повторный интеграл в случае n = 3: Для повторного интеграла произвольной кратности n будет справедливо выражение которое называется формулой Коши для повторных интегралов.

Полученное выражение представляет собой частное решение дифференциального уравнения y⁽ⁿ⁾ = f(x) при нулевых начальных условиях Соответственно, общее решение исходного уравнения описывается формулой Заметим, что формула Коши связывает между собой функцию y(x) и ее производную n-го порядка y⁽ⁿ⁾ = f(x). Если допустить, что число n может быть действительным, то мы приходим к понятию производной дробного порядка.

Вместо факториала (n − 1)! в формуле Коши запишем так называемую гамма-функцию Γ(z), которая является непрерывной и выражается через несобственный интеграл в виде Вид гамма-функции Γ(n) для действительных значений z показан выше на рисунке 2. При натуральных значениях n справедливо равенство Тогда формула Коши представляется в следующем виде: где z − действительное число.

Данную формулу можно рассматривать как определение дробной производной порядка z, если исходная функция y(x) известна или как определение интеграла дробного порядка z, если задана соответствующая производная.

Мы рассмотрели решение явного дифференциального уравнения y⁽ⁿ⁾ = f(x) в квадратурах. Неявное уравнение F(x, y⁽ⁿ⁾) = 0 также можно проинтегрировать, если его удается разрешить относительно переменной x или, в более общем случае, представить в параметрической форме: Тогда, учитывая, что получаем Далее аналогичным образом находим остальные производные и саму функцию y(x). В результате получаем общее решение уравнения в параметрическом виде: Рассмотрим сначала случай, когда такое уравнение можно разрешить относительно y⁽ⁿ⁾: Решаем его следующим образом. Вводим новую переменную z = y^(n-1). Тогда уравнение записывается как Разделяя переменные, находим его общее решение: Возвращаясь к переменной y, получаем дифференциальное уравнение (n − 1)-го порядка: которое решается методом, изложенном выше в пункте 1.

Общее неявное уравнение F(y ^(n-1), y ⁽ⁿ⁾) = 0 можно проинтегрировать, если оно представляется в параметрической форме Поскольку dy^(n-1) = y⁽ⁿ⁾dx, получаем следующее выражение для x(t): Выражение для y(t) находится последовательным интегрированием: В результате мы получаем общее решение уравнения в параметрическом виде. Предположим, что данное уравнение разрешено относительно y⁽ⁿ⁾: Вводя новую переменную y^(n-1) = z, запишем его как Умножая обе части на z' (в предположении, что уравнение не имеет решения z' = 0), получаем: Видно, что мы получили уравнение вида y^(n-1) = f(y^(n-2)), которое было рассмотрено в пункте 2 и которое решается в квадратурах.

Если уравнение z'' = f(z) имеет решение z' = 0, то общее решение выражается формулой: В случае, когда дифференциальное уравнение F(y ^(n-2), y ⁽ⁿ⁾) = 0 допускает параметрическое представление его решение строится следующим образом. Из соотношений следует, что или в параметрической форме: Интегрируя, находим: Теперь мы знаем параметрическое выражение для производных y ^(n-2) и y ^(n-1), т.е. задача сводится к типу 2.

   Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения  y''' = x² − 1.
Данное уравнение относится к типу y⁽ⁿ⁾ = f(x) при n = 3. Его общее решение записывается в виде Вычислим входящий в эту формулу интеграл: где α, β, γ обозначают коэффициенты, зависящие от x₀.

Тогда общее решение уравнения представляется в виде: Учитывая, что числа C₁ и x₀ произвольные, общее решение y(x) можно переписать в виде: Примечание: Такой же ответ получается последовательным интегрированием заданного дифференциального уравнения.

   Пример 2

Найти частное решение уравнения  y ^IV = sin x + 1 при начальных условиях x₀ = 0, y₀ = 1, y₀' = y₀'' = y₀''' = 0.
Построим сначала общее решение, последовательно интегрируя заданное уравнение: Подставляя начальные значения, определим коэффициенты C₁ - C₄ из системы уравнений: Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:

   Пример 3

Найти общее решение уравнения  (y'')² − (y'')³ = x.
Данное уравнение можно решить параметрическим методом. Полагаем y'' = t. Тогда Учитывая, что d(y') = y''dx, находим производную y', выраженную через параметр t: Аналогично выполняем еще одно интегрирование: Таким образом, общее решение представляется в параметрической форме как где C₁, C₂ − произвольные постоянные.

   Пример 4

Найти частное решение уравнения  y ^IV − y''' = 1 при нулевых начальных условиях: x₀ = 0, y₀ = y₀' = y₀'' = y₀''' = 0.
Данное уравнение относится к типу 2. Введем промежуточную переменную z = y'''. Получаем линейное уравнение первого порядка: Его общим решением является функция Следовательно, имеем т.е. уравнение преобразовано к типу 1. Его можно решить последовательным интегрированием: Коэффициенты C_i определяются из начальных условий: Итак, частное решение при заданных начальных условиях имеет вид:

   Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения .
Данное уравнение относится к типу 2. Вводим новую переменную z = y''. Получаем уравнение первого порядка: Будем полагать, что функция z задана на отрезке [−1, 1]. Интегрируя, находим: Фактически мы привели исходное уравнение к типу 1. Общее решение y(x) проще всего получить, дважды интегрируя выражение для z: где C₁, C₂, C₃ − произвольные постоянные.

   Пример 6

Построить общее решение уравнения  y''' y'' = 1 в квадратурах.
Это уравнение типа 3. Вводим новую функцию z = y', так что уравнение будет записываться в виде Очевидно, что  z = y' ≠ 0  и  z' = y'' ≠ 0. Умножим обе части полученного уравнения на 2z' и проинтегрируем один раз: Видно, что уравнение приведено к типу 1. Далее его удобно решать параметрическим методом. Положим z' = t, где переменная t рассматривается как параметр. Функция z выражается через t следующим образом: Таким образом, функция z представлена в виде z = φ(t, C₁). Зависимость переменной x от параметра t также описывается квадратурой: Остается получить параметрическое выражение для функции y. Поскольку то после интегрирования имеем: Итак, общее решение исходного уравнения в параметрической форме выражается через квадратуры в следующем виде: где  φ(t, C₁) = ± 1/C₁ exp(t ²)  и C₁, C₂, C₃ − постоянные интегрирования.