Двойные интегралы в прямоугольной области

Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник . Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде: В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла.

В частном случае, когда подынтегральная функция  f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x)g(y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:

   Пример 1

Вычислить двойной интеграл в области . Как видно, подынтегральная функция  f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y). Следовательно, интеграл равен

   Пример 2

Вычислить двойной интеграл , заданный в области . Поскольку функция  f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y), интеграл равен

   Пример 3

Вычислить интеграл , заданный в области . Выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от x), получаем

   Пример 4

Вычислить интеграл в области . В данном случае также удобно сначала проинтегрировать по x и затем по y.

   Пример 5

Вычислить интеграл , заданный в области . Выразим двойной интеграл через повторный. Сначала проинтегрируем по x, затем по y. Мы можем поменять порядок интегрирования. Результат, разумеется, не изменится.