Двойные интегралы в произвольной области
|
|
Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси O y) ограничена графиками функций  . При этом выполняются неравенства  и  для всех  . Тогда двойной интеграл по области R выражается через повторный по формуле
Аналогичное соотношение существует и для области типа II. Пусть область интегрирования R типа II (элементарная относительно оси O x) ограничена графиками функций  при условии, что  и  для всех  . Тогда двойной интеграл, заданный в области R, выражается через повторный интеграл по формуле
При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования R на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.
|
Пример 1
|
|
Вычислить интеграл  . Область интегрирования R ограничена графиками функций  .
Решение.
Область интегрирования R задана множеством  и относится к типу I (рисунок 1). Выразим двойной интеграл через повторный:
Вычислим сначала внутренний интеграл.
Теперь найдем внешний интеграл.
|
Пример 2
|
|
Вычислить интеграл  . Область интегрирования R ограничена прямыми  .
Решение.
Область R представляется в виде множества  (рисунок 2) и является областью I типа (элементарной относительно оси O y). Преобразуя двойной интеграл в повторный, получаем:
|
Пример 3
|
|
Вычислить интеграл  , в котором область интегрирования R ограничена графиками функций  .
Решение.
Область R показана ниже на рисунке 3. Кривая  и линейная функция  пересекаются в точке (1,1). Следовательно, двойной интеграл равен
|
Пример 4
|
|
Найти интеграл  , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями  .
Решение.
Окружность  имеет радиус 2 и центр в начале координат. Область интегрирования показана на рисунке 4. Поскольку верхняя полуокружность описывается уравнением  , то двойной интеграл вычисляется следующим образом:
|
Пример 5
|
|
Найти интеграл  , заданный в области R, ограниченной прямыми  .
Решение.
Область интегрирования R показана ниже на рисунке 5. Рассматривая ее как область типа II (элементарную относительно оси O x, двойной интеграл можно преобразовать в повторный и вычислить следующим образом:
|
Пример 6
|
|
Найти интеграл  , где R ограничена прямой  и параболой  .
Решение.
Область интегрирования изображена выше на рисунке 6. Найдем точки пересечения прямой и параболы.
Следовательно, линии, ограничивающие область R, пересекаются в точках (−3,−6) и (1,2). Тогда исходный двойной интеграл равен
|
Пример 7
|
|
Найти интеграл  , где область R ограничена линиями  .
Решение.
Область интегрирования описывается множеством  и показана ниже на рисунке 7. Двойной интеграл равен
Для вычисления последнего интеграла сделаем замену
Если x = 0, то z = 0. Соответственно, при x = 1 имеем z = 1. Тогда интеграл легко вычисляется:
|
Пример 8
|
|
Вычислить интеграл  . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).
Решение.
Область R показана выше на рисунке 8. Очевидно, уравнение стороны треугольника OC имеет вид y = x, а уравнение стороны BC равно y = 1. Рассматривая R как область типа I, получаем
Полученный внешний интеграл вычислим с помощью интегрирования по частям. Пусть  . Тогда  . Следовательно,
|
Пример 9
|
|
Вычислить интеграл  , где область R представляет собой параллелограмм со сторонами  , a − некоторый параметр.
Решение.
Будем рассматривать R как область типа II (элементарную относительно оси O x). Схематически она изображена внизу на рисунке 9. При изменении координаты y от a до 2 a, координата x принимает значения между x = y − a и x = y. Поэтому двойной интеграл равен
|
|