Двойные интегралы в произвольной области

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций . При этом выполняются неравенства и для всех . Тогда двойной интеграл по области R выражается через повторный по формуле Аналогичное соотношение существует и для области типа II. Пусть область интегрирования R типа II (элементарная относительно оси Ox) ограничена графиками функций при условии, что и для всех . Тогда двойной интеграл, заданный в области R, выражается через повторный интеграл по формуле При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования R на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

   Пример 1

Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций . Область интегрирования R задана множеством и относится к типу I (рисунок 1). Выразим двойной интеграл через повторный: Вычислим сначала внутренний интеграл. Теперь найдем внешний интеграл.

   Пример 2

Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми . Область R представляется в виде множества (рисунок 2) и является областью I типа (элементарной относительно оси Oy). Преобразуя двойной интеграл в повторный, получаем:

   Пример 3

Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R ограничена графиками функций . Область R показана ниже на рисунке 3. Кривая и линейная функция пересекаются в точке (1,1). Следовательно, двойной интеграл равен

   Пример 4

Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями . Окружность имеет радиус 2 и центр в начале координат. Область интегрирования показана на рисунке 4. Поскольку верхняя полуокружность описывается уравнением , то двойной интеграл вычисляется следующим образом:

   Пример 5

Найти интеграл , заданный в области R, ограниченной прямыми . Область интегрирования R показана ниже на рисунке 5. Рассматривая ее как область типа II (элементарную относительно оси Ox, двойной интеграл можно преобразовать в повторный и вычислить следующим образом:

   Пример 6

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой . Область интегрирования изображена выше на рисунке 6. Найдем точки пересечения прямой и параболы. Следовательно, линии, ограничивающие область R, пересекаются в точках (−3,−6) и (1,2). Тогда исходный двойной интеграл равен

   Пример 7

Найти интеграл , где область R ограничена линиями . Область интегрирования описывается множеством и показана ниже на рисунке 7. Двойной интеграл равен Для вычисления последнего интеграла сделаем замену Если x = 0, то z = 0. Соответственно, при x = 1 имеем z = 1. Тогда интеграл легко вычисляется:

   Пример 8

Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1). Область R показана выше на рисунке 8. Очевидно, уравнение стороны треугольника OC имеет вид y = x, а уравнение стороны BC равно y = 1. Рассматривая R как область типа I, получаем Полученный внешний интеграл вычислим с помощью интегрирования по частям. Пусть . Тогда . Следовательно,

   Пример 9

Вычислить интеграл , где область R представляет собой параллелограмм со сторонами , a − некоторый параметр. Будем рассматривать R как область типа II (элементарную относительно оси Ox). Схематически она изображена внизу на рисунке 9. При изменении координаты y от a до 2a, координата x принимает значения между x = y − a и x = y. Поэтому двойной интеграл равен