Двойные интегралы в полярных координатах

Математический Анализ

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).


Рис.1		Рис.2

Якобиан такого преобразования имеет вид

Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен

Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):

Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой

Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям

В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид

Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!


Рис.3		Рис.4

Вычислить двойной интеграл

, преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор

круга радиусом

Решение.

Область R в полярных координатах описывается множеством

(рисунок 4). Применяя формулу

получаем

Вычислить интеграл

, в котором область интегрирования R представляет собой кольцо, ограниченное окружностями

Решение.

В полярных координатах область интегрирования R является полярным прямоугольником (рисунок 5):


Рис.5		Рис.6

Тогда, используя формулу

находим значение интеграла

Найти интеграл

, где область интегрирования R ограничена кардиоидой

(рисунок 6).

Решение.

Данный интеграл легко решается после перехода к полярным координатам.

Вычислить интеграл

в круге

Решение.

Область интегрирования R показана на рисунке 7.


Рис.7		Рис.8

Преобразуем уравнение окружности следующим образом:

Подставляя

, найдем уравнение окружности в полярных координатах.

Образ S области интегрирования R показан на рисунке 8. После перехода к полярным координатам вычисляем двойной интеграл.

Вычислить двойной интеграл

посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг x² + y² ≤ π².

Решение.

Область интегрирования R представлена на рисунке 9.


Рис.9		Рис.10

Образ S данной области описывается множеством

и показан на рисунке 10. Запишем исходный двойной интеграл в полярных координатах.

Вычислим последний интеграл с помощью интегрирования по частям:

Пусть

. Тогда

. Следовательно,