Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0: Функция является непрерывной функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:

   Пример 1

Показать, что Рассмотрим сначала следующий степенной ряд: Данный ряд является геометрической прогрессией со знаменателем x. Поэтому, он сходится при |x| < 1. Его сумма равна . Подставляя − x вместо x, получаем Таким образом,

   Пример 2

Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби . Запишем функцию в виде Видно, что данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем : Полученный степенной ряд сходится при |x| < 2.

   Пример 3

Найти разложение функции в степенной ряд. Сначала разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Так как , то можно записать Умножим обе части на . Получаем Система уравнений имеет решение: A = 1, B = 1. Следовательно, исходная рациональная дробь раскладывается следующим образом: В полученном выражении обе дроби представляют собой суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий: Таким образом, разложение исходной функции в степенной ряд имеет вид:

   Пример 4

Найти представление в виде степенного ряда функции . Выше в примере 1 мы получили разложение Интегрируя это ряд почленно на отрезке [0; x], находим

   Пример 5

Разложить в степенной ряд интеграл . В предыдущем примере было найдено разложение логарифмической функции в ряд в виде Отсюда следует, что Интегрируя этот ряд почленно на отрезке [0; x], получаем

   Пример 6

Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e ^x. Рассмотрим ряд который сходится при всех x.

Дифференцируя его почленно, получаем Следовательно, функция f (x) удовлетворяет дифференциальному уравнению f ' = f. Общее решение этого уравнения имеет вид  f (x) = ce ^x, где c − константа. Подставляя начальное значение  f (0) = 1, находим, что c = 1. Таким образом, полученное следующее разложение функции e ^x в степенной ряд:

   Пример 7

Разложить в степенной ряд гиперболический синус sh x. Поскольку sh x = (e ^x + e^−x )/2, то воспользуемся разложениями в степенной ряд функций e ^x и e^−x. В предыдущем примере была получена формула Подставляя −x вместо x, находим, что Тогда гиперболический синус раскладывается в ряд следующим образом: