Определение предела функции

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)

Число L называется пределом функции f (x) при , если для каждого существует такое число , что при условии Данное определение предела известно как - определение или определение Коши.

Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точке a, последовательность сходится к L. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.

Символом обозначается левосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает значения x < a. Соответствующий предел называется левосторонним пределом функции f (x) в точке x = a.

Аналогично, символом обозначается правосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает значения x > a. Соответствующий предел называется правосторонним пределом функции f (x) в точке x = a.

Отметим, что двусторонний предел существуют лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть . В этом случае

   Пример 1

Используя - определение предела, показать что . Пусть является произвольным положительным числом. Выберем . Очевидно, что если то Данный предел доказан в соответствии с определением Коши.

   Пример 2

Используя - определение предела, показать что . Положим для простоты, что , т.е. Пусть является произвольным положительным числом. Тогда можно записать следующее неравенство: Так как максимальное значение x равно 3 (в соответствии с выбранным выше значением δ ), то получаем Тогда для любого произвольного числа мы можем выбрать число δ такое, что В результате неравенства в определении предела будут выполнены. Искомый предел доказан.

   Пример 3

Используя - определение предела, найти значение δ, соответствующее заданному числу ε для следующего предела В соответствии с определением предела можно записать Подставляя f (x) и ε, получаем Возведем в квадрат все части неравенства. что эквивалентно неравенству Таким образом, нужно выбрать число , чтобы исходное неравенство выполнялось.

   Пример 4

Доказать, что . Аналогичную технику мы можем применять и к пределам при . Предположим, что . Нам необходимо, чтобы выполнялось следующее неравенство: Выберем некоторое число N, зависящее от ε, такое, что . Неравенство будет удовлетворено, если Это означает, что при больших N (когда ) Данная функция схематически показана на рисунке 1.

   Пример 5

Доказать, что . Предположим, что . Найдем число N - такое, что для любого x > N будет справедливо неравенство Преобразуем данное неравенство. Поскольку , то и можно просто записать Полагая (или N = 0 если эта разность отрицательная), получаем Это означает, что (см. рис.2)