Определение и свойства тройных интегралов

Определение тройного интеграла

Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана. Начнем с простейшего случая, когда область интегрирования U имеет вид параллелепипеда

(рисунок 1).


Рис.1

Пусть множество чисел {x₀, x₁, ..., x_m} разбивает отрезок [a, b] на малые интервалы, так что справедливо соотношение

Аналогично построим разбиение отрезка [c, d] вдоль оси Oy и [p, q] вдоль оси Oz:

Сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением

имеет вид

Здесь (u_i , v_j , w_k) - некоторая точка в параллелепипеде (x_i−₁, x_i)×(y_i−₁, y_i)×(z_i−₁, z_i), а приращения равны

Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде

определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δx_i, Δy_j и Δz_k стремятся к нулю:

Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед

, включающий заданную область U. Введем функцию g (x,y,z), такую, что

Тогда тройной интеграл от функции функции f (x,y,z) в произвольной области U определяется в виде:

Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

, где k - константа;
Если в любой точке области U, то ;
Если область U является объединением двух непересекающихся областей U₁ и U₂, то ;
Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:
где V - объем области интегрирования U.
Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M₀ U, такая, что
где V - объем области U.


	www.Math24.ru Математический Анализ