Определение и свойства двойных интегралов

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных  z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл от функции одной переменной выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1). Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник (рисунок 2). Используя ряд чисел { x₀, x₁, ..., x_m }, разобьем отрезок [a, b] на малые интервалы таким образом, чтобы выполнялось соотношение Аналогично, пусть множество чисел является разбиением отрезка [c, d] вдоль оси Oy, при котором справедливы неравенства Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением называется выражение где - некоторая точка в прямоугольнике и .

Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δx_i и Δy_j стремятся к нулю:
Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник , покрывающий область R (рисунок 3), и введем функцию g (x,y), такую, что Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

   Пример

Пусть R и S являются непересекающимися областями (рисунок 5). Известны значения двойных интегралов: Оценить интеграл . Используя свойства двойных интегралов, получаем: