Кривизна плоских кривых

Пусть плоская кривая C задана параметрически радиус-вектором . При движении произвольной точки M вдоль кривой C ее касательная меняет направление (рисунок 1). Кривизну кривой можно определить как отношение угла поворота касательной Δφ к длине пройденной дуги Δs = MM₁. Такое отношение Δφ/Δs называется средней кривизной дуги кривой. Когда точка M₁ приближается к точке M, мы получаем кривизну кривой в точке M: Ясно, что кривизна k в общем случае может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от направления вращения касательной.

Если кривая задана своим радиусом вектором , ее кривизна определяется формулой где , − первая и вторая производные радиус-вектора. В этой формуле в числителе записано векторное произведение векторов и .

При параметрическом задании координат кривой x(t) и y(t) формула для расчета кривизны принимает вид Если плоская кривая задана явной функцией y = f(x), кривизна кривой вычисляется по формуле В случае, когда кривая задана в полярных координатах в виде ρ = ρ(φ), ее кривизна k будет определяться выражением Под кривизной кривой часто понимается абсолютное значение кривизны, без учета направления вращения касательной. В таком случае приведенные выше формулы остаются верными, но в числителе появляется модуль. Например, формула кривизны при параметрическом задании координат кривой x(t) и y(t) будет выглядеть так : Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны: Окружность с таким радиусом и центром, расположенном на главной нормали, будет наилучшим образом аппроксимировать плоскую кривую в данной точке (рисунок 2).

   Пример 1

Определить радиус кривизны прямой.
Пусть прямая задана явным уравнением y = ax + b, где a, b − некоторые коэффициенты. Вычислим кривизну k и радиус кривизны R данной прямой.

Абсолютное значение кривизны вычисляется по формуле В нашем случае: Отсюда сразу следует, что кривизна прямой равна нулю, а радиус кривизны, соответственно, равен бесконечности.

   Пример 2

Определить уравнение переходной кривой железнодорожного пути. Как известно, при движении тела массой m со скоростью v вдоль кривой возникает центробежная сила, величина которой зависит от радиуса кривизны R: Центробежная сил будет оставаться постоянной в случае, когда тело (например, поезд) движется по дуге окружности. Чтобы исключить резкие толчки при переходе от прямолинейного движения к круговому, используют специальные переходные участки, где кривизна постепенно и равномерно нарастает от 0 до конечного значения 1/R. На таких переходных кривых центробежная сила также будет изменяться равномерно.

Пусть переходная кривая соответствует дуге OP (рисунок 3), длина которой равна L. При движении точки M вдоль этой кривой радиус кривизны изменяется пропорционально пройденному пути s: где m − коэффициент пропорциональности. Данный коэффициент легко найти из граничного условия: при s = OP = L кривизна станет равной 1/R : Тогда условие для переходной кривой можно записать в виде следующего уравнения: Решение задачи упрощается, если приблизительно положить s = x, где x − проекция точки M на ось Оx. При этом производная y' также будет мала и мы можем пренебречь ей в формуле для расчета кривизны. В результате получаем следующее дифференциальное уравнение переходной кривой: Дважды интегрируя, находим общее решение уравнения: Учитывая начальные условия y(x =0) = 0 и y'(x =0) = 0, получаем окончательное уравнение переходной кривой: которая, как видно, является кубической параболой.

   Пример 3

Найти кривую, у которой радиус кривизны является постоянной величиной.
Пусть кривая задана уравнением y = y(x). Ее радиус кривизны определяется формулой Поскольку по условию задачи радиус является постоянной величиной R = const, получаем следующее дифференциальное уравнение: Сделаем замену y' = p и понизим порядок уравнения: Разделяя переменные и раскрывая модуль, получаем Применим еще одну подстановку: Следовательно, уравнение принимает вид Вспоминая тригонометрическое тождество данное уравнение можно упростить и затем проинтегрировать: где C₁ − постоянная интегрирования.

Перейдем обратно к переменной p, учитывая соотношение Здесь мы рассматриваем лишь положительное значение квадратного корня, поскольку оба знака уже фигурируют в правой части дифференциального уравнения. Тогда уравнение записывается в виде Вернемся к исходной переменной y: Чтобы вычислить полученный интеграл сделаем замену переменной (надеемся, что она будет последней в этой задаче): Интеграл будет равен Полученное выражение перепишем как Исключим промежуточную переменную t: Отсюда видно, что кривые с постоянным радиусом кривизны R представляют собой множество окружностей с произвольным центром и таким же радиусом R.