Комплексная форма рядов Фурье

Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме: Мы использовали здесь следующие обозначения: Коэффициенты c_n называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами Если нужно построить продолжение функции f (x), имеюшей произвольный период 2L, то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид: где Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и более симметрична. Поэтому, она часто используется в физике и прикладных расчетах.

   Пример 1

Используя комплексную форму записи, найти разложение в ряд Фурье функции Вычислим коэффициенты c₀ и c_n (при n ≠ 0): Если n = 2k, то .
Если n = 2k − 1, то .
Следовательно, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид: Данный ряд можно преобразовать и записать в действительных переменных. Обозначим: . Тогда График функции и ее ряд Фурье при n = 5 и n = 50 показаны на рисунке 1.

   Пример 2

Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале [−1, 1]. Здесь полупериод равен L = 1. Поэтому c₀ равен Для n ≠ 0 получаем Дважды интегрируя по частям, находим Подставляя sin nπ = 0 и cos nπ = (−1)ⁿ, получаем компактное выражение для коэффициентов c_n: Таким образом, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид Учитывая, что , можно окончательно записать График данной функции и ее аппроксимации Фурье приведены ни рисунке 2 (выше).

   Пример 3

Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции Применим формулы В результате функция принимает вид Разложим последнее выражение на сумму простых рациональных дробей. Определим коэффициенты A,B: В результате функцию f (x) можно записать в виде При этом И такой же результат справедлив для сопряженного выражения: Представляя дроби в виде степенных рядов, получаем Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид Поскольку , то окончательный ответ будет