Замена переменных в двойных интегралах

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат.
Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции.
В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя.

Предполагая, что преобразование координат является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом при условии, что знаменатель нигде не равен 0.

Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:

   Пример 1

Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми . Область R схематически показана на рисунке 1. Для упрощения интеграла выполним замену переменных. Полагая , получаем Следовательно, образ S области R имеет вид прямоугольника, как показано на рисунке 2. Определим якобиан данного преобразования. Тогда Следовательно, дифференциал преобразуется следующим образом: В новых переменных интеграл вычисляется намного легче:

   Пример 2

Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями . Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные: . Выразим x, y через u, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что Заметим, что Следовательно, Таким образом, мы получаем Если , то . Соответственно, если , то . Область S имеет вид прямоугольного треугольника (рисунок 4 выше).

Уравнение стороны можно переписать в виде Найдем якобиан. Следовательно, и двойной интеграл становится равным

   Пример 3

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами . Область R схематически показана на рисунке 5. Для упрощения области R сделаем замену переменных. Образ S области R определяется следующим образом: Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные x, y через u, v. Отсюда следует Находим якобиан данного преобразования. Соотношение между дифференциалами имеет вид Теперь легко найти искомый интеграл:

   Пример 4

Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми . Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6. Сделаем следующую замену переменных: Цель этой замены − упростить область интегрирования R.
Найдем образ S области R в новых координатах u, v. Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан. так что Теперь можно вычислить двойной интеграл.