Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой В цилиндрических координатах объем тела равен В сферических координатах, соответственно, используется формула

   Пример 1

Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 2). Конус ограничен поверхностью и плоскостью z = H (рисунок 1). В декартовых координатах его объем выражается формулой Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в пределах Получаем (не забудем включить в интеграл якобиан ρ): Находим объем конуса:

   Пример 2

Найти объем шара x² + y² + z² ≤ R². Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем В результате получена известная формула для объема шара радиусом R.

   Пример 3

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz (рисунок 2). Уравнение прямой AB в плоскости Oxy (рисунок 3) имеет вид: y = 2 − 2x. При этом переменная x изменяется в интервале 0 ≤ x ≤ 1, а переменная y − в интервале 0 ≤ y ≤ 2 − 2x.

Составим теперь уравнение плоскости ABC в отрезках. Поскольку плоскость ABC отсекает отрезки 1, 2, 3, соответственно, на осях Ox, Oy и Oz, то ее уравнение имеет вид: В общем виде уравнение плоскости ABC записывается как Следовательно, пределы интегрирования по переменной z изменяются в промежутке от z = 0 до . Теперь можно вычислить объем заданного тетраэдра:

   Пример 4

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0 (рисунок 4). Уравнение плоскости x + y + z = 5 можно переписать в виде Если положить z = 0, то получим Следовательно, область интегрирования D в плоскости Oxy ограничена прямой y = 5 − x, как показано на рисунке 5.

Объем тетраэдра будет равен

   Пример 5

Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами: Исследуем пересечение двух параболоидов (рисунок 6). Поскольку ρ² = x² + y², то уравнения параболоидов записываются в виде Полагая z₁ = z₂ для линии пересечения, получаем Этому значению ρ (рисунок 7) соответствует координата z, равная Объем данной области выражается с помощью тройного интеграла в виде В цилиндрических координатах интеграл равен

   Пример 6

Вычислить объем эллипсоида Объем эллипсоида удобно вычислить используя обобщенные сферические координаты. Пусть Поскольку модуль якобиана при трансформации декартовых координат в обобщенные сферические координаты равен то, следовательно, Объем эллипсоида выражается через тройной интеграл: В силу симметрии эллипсоида, мы найдем объем 1/8 его части, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. При этом обобщенные сферические координаты будут изменяться в пределах: Итак, объем эллипсоида равен

   Пример 7

Найти объем тела, ограниченного сферой x² + y² + z² = 6 и параболоидом x² + y² = z. Определим сначала линию пересечения поверхностей. Подставляя уравнение параболоида в уравнение сферы, находим: Второй корень z₂ = −3 соответствует пересечению сферы с нижней полостью параболоида. Этот случай мы не рассматриваем. Таким образом, перечение тел происходит при z = 2. Очевидно, что проекция области интегрирования на плоскость Oxy имеет вид окружности (рисунок 8), заданной уравнением x² + y² = 2. Сверху область интегрирования ограничена сферической поверхностью, а снизу − параболоидом (рисунок 9). Объем данной области выражается интегралом Удобно перейти к цилиндрическим координатам: где ρ² = x² + x² и интеграл включает якобиан ρ. Получаем: Заменим ρ² = t. Здесь t = 0 при ρ = 0, и, соответственно, t = 2 при ρ = √2.

Окончательно вычисляем объем тела:

   Пример 8

Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом  z = 2 − x² − y² и конической поверхностью
. Исследуем сначала пересечение двух заданных поверхностей. Приравнивая координаты z, получаем уравнение Пусть x² + y² = t². Тогда В контексте данной задачи смысл имеет лишь корень t = 1, то есть Итак, обе поверхности пересекаются при z = 1, и сечение представляет собой круг (рисунок 10) Область интегрирования сверху ограничена параболоидом , а снизу − конусом (рисунок 11). Для вычисления объема области перейдем к цилиндрическим координатам: В результате находим