Прогиб балки

Балкой называют конструктивный элемент, способный выдерживать большие нагрузки на изгиб. В случае малых прогибов форму балки можно описать линейным дифференциальным уравнением 4-го порядка.

Рассмотрим вывод данного уравнения. При изгибе балки между двумя смежными сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии dx, образуется угол dθ (рисунок 1). При этом деформация ε в каждой точке будет пропорциональна координате y, которую будем отсчитывать от нейтральной линии. Длина нейтральной линии считается неизменной.

Из геометрии рисунка 1 следует, что где R − радиус кривизны бруса.

Величина нормального напряжения σ в сечении будет также зависеть от координаты y. Ее можно оценить по закону Гука: где E − модуль упругости балки.

Изгибающий момент M(x) для заданного сечения балки относительно оси 0z вычисляется по формуле где I − момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси 0z (рисунок 2). Отсюда получаем выражение для радиуса кривизны балки: Известно, что радиус кривизны определяется формулой Считая прогиб балки достаточно малым, можно пренебречь первой производной y'. Тогда дифференциальное уравнение упругой линии записывается в следующем виде: Изгибающий момент M(x) можно выразить через известную внешнюю нагрузку q(x), действующую на балку. Действительно, выделим малый элемент dx и рассмотрим условия его равновесия (рисунок 3). Сумма проекций всех сил на ось 0z равна нулю: Сумма моментов всех сил относительно, например, правой границы элемента dx (точка B на рисунке 3) будет также равна нулю: Отсюда следует соотношение С учетом этого выражения дифференциальное уравнение принимает вид: Данное уравнение называется дифференциальным уравнением Эйлера-Бернулли. В случае, если величины E и I постоянны вдоль оси 0x, мы получаем уравнение четвертого порядка: Данное уравнение при задании соответствующих граничных условий определяет прогиб нагруженной балки.

   Пример 1

Определить прогиб балки, жестко закрепленной с обоих концов и нагруженной равномерно распределенной силой (рисунок 4).
Пусть на балку длиной L действует однородно распределенная сила q. Модуль упругости E и момент инерции балки I считаем известными.

Уравнение прогиба балки имеет вид: Знак "минус" перед q показывает, что сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси 0y, т.е. вертикально вниз.

При жестком закреплении концов балки справедливы следующие граничные условия: Последовательно интегрируя дифференциальное уравнение, находим функцию y(x): Из условий y (x = 0) = 0 и dy/dx (x = 0) = 0 следует, что C₃ = C₄ = 0. С учетом двух других граничных условий получаем следующую систему уравнений с неизвестными C₁ и C₂: Решая ее, находим коэффициенты C₁ и C₂: Итак, прогиб балки под действием равномерно распределенной нагрузки q описывается функцией Чтобы определить стрелу прогиба λ, исследуем функцию f(x) = x²(x − L)² на экстремум. Находим производную этой функции и приравниваем ее нулю: Отсюда следует, что данная функция имеет экстремум при x = L/2. В этой точке функция f(x) принимает максимальное значение, равное Тогда стрела прогиба λ будет определяться формулой Оказывается, что величина прогиба λ пропорциональна длине балки в четвертой степени! Такая крайне сильная зависимость накладывает существенные ограничения на конструкцию зданий и сооружений.

   Пример 2

Тонкий цилиндрический вал длиной L вращается с угловой скоростью ω. При какой скорости ω может произойти разрушение вала? Модуль упругости материала E, масса вала M, радиус сечения a.

При вращении вала на него действует центробежная сила, которая пропорциональна отклонению y от оси вращения. При увеличении в некоторой точке деформации y центробежная сила в этой точке также будет возрастать, что приведет к дальнейшему искривлению вала. Неустойчивость такого рода возникает при определенных частотах и может привести к разрушению вала.

Исследуем эту задачу с помощью дифференциального уравнения. Базовое уравнение, описывающее деформацию вала, записывается в виде: где f обозначает плотность центробежной силы.

На элемент вала dx действует центробежная сила, равная Здесь величина соответствует массе элемента dx, y − прогиб вала, равный радиусу вращения элемента dx. В результате наше дифференциальное уравнение принимает вид: где введено обозначение .

Итак, мы получили красивое линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка. Найдем корни характеристического уравнения. Корни имеют такие значения: Тогда общее решение уравнения выражается формулой Коэффициенты C_i находятся из граничных условий. В данном случаем, учитывая, что вал вращается на двух опорах, граничные условия имеют вид:

• прогиб вала в точках x = 0 и x = L равен нулю;
• кривизна вала в точках x = 0 и x = L равна нулю.

Следовательно, Находим вторую производную функции y(x): Подставляя y и в граничные условия, получаем Решение этой системы имеет вид: Случаю C₄ = 0 соответствует тривиальное решение y = 0. В этом случае вал остается недеформированным. Содержательное решение существует при C₄ ≠ 0. Тогда должно выполняться условие Заметим, что число n здесь больше нуля, поскольку при n = 0 мы снова получаем тривиальное решение y = 0.

Итак, при αL = πn вал вращения начинает искривляться, принимая форму синусоиды: Минимальная критическая частота ω_кр, при которой возникает данная неустойчивость, находится по следующей формуле: Если вал представляет собой цельный стержень с радиусом поперечного сечения a, то его момент инерции относительно центральной оси равен Подставляя I в предыдущую формулу, находим минимальную критическую скорость вращения вала: