Барометрическая формула

В данном разделе мы выведем зависимость давления газа P от высоты h над уровнем моря в гравитационном поле Земли.

Возьмем произвольную цилиндрическую колонну газа с площадью сечения S и высотой h. Тогда вес выделенного объема газа будет равен

где ρ означает плотность газа. Плотность газа будет выражаться следующей формулой:

Теперь представим такую колонну в атмосфере и выделим в ней тонкий слой воздуха высотой dh (рисунок 1). Ясно, что такой слой вызывает изменение давления на величину

Мы поставили здесь знак минус, поскольку давление должно уменьшаться с увеличением высоты.


Рис.1		Рис.2

Рассматривая атмосферный воздух как идеальный газ, воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, чтобы выразить плотность ρ через давление P:

Здесь T − абсолютная температура, R − универсальная газовая постояная, равная

, M − молярная масса, которая для воздуха равна

. Отсюда следует, что плотность определяется формулой

Подставляя это в дифференциальное соотношение для dP, находим:

В результате мы получаем дифференциальное уравнение, описывающее давление газа P как функцию высоты h. Интегрирование приводит к следующему уравнению:

Избавляясь от логарифмов, получаем так называемую барометрическую формулу

Константа C определяется из начального условия P(h = 0) = P₀, где P₀ − это среднее атмосферное давление над уровнем моря.

Таким образом, зависимость атмосферного давления от высоты выражается формулой:

Подставляя известные стандартные значения (смотрите рисунок 2 выше), находим зависимость P(h) (в килопаскалях), которая описывается формулой

где высота h над уровнем моря выражается в метрах.

Если давление определяется в миллиметрах ртутного столба (мм рт.ст.), то барометрическая формула принимает вид:

Барометрическая формула широко используется для оценки атмосферного давления при различных условиях, хотя она дает слегка завышенные значения.


	www.Math24.ru Дифференциальные Уравнения