Скорость и ускорение
Пусть функция s(t) описывает положение объекта в некоторой системе координат в момент времени t. Тогда первая производная функции s(t) является мгновенной скоростью объекта:
v = s' = f '(t)
Вторая производная функции s(t) представляет собой мгновенное ускорение объекта:
w = v' = s'' = f''(t)

Уравнение касательной
y − y₀ = f '(x₀)(x − x₀),
где (x₀, y₀) − координаты точки касания, f '(x₀) − значение производной функции f(x) в точке касания.

Уравнение нормали

где (x₀, y₀) − координаты точки, в которой проведена нормаль, f '(x₀) − значение производной функции f(x) в данной точке.

Возрастание и убывание функции
Если f '(x₀) > 0, то функция возрастает в точке x₀. На рисунке ниже функция является возрастающей при x < x₁ и x > x₂.
Если f '(x₀) < 0, то функция убывает в точке x₀ (интервал x₁ < x < x₂).
Если f '(x₀) = 0 или производная не существует, то данный признак не позволяет определить характер монотонности функции в точке x₀.

Локальные экстремумы функции
Функция f(x) имеет локальный максимум в точке x₁, если существует такая окрестность точки x₁, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x₁) ≥ f(x).
Аналогично, функция f(x) имеет локальный минимум в точке x₂, если существует такая окрестность точки x₂, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x₂) ≤ f(x).

Критические точки
Точка x₀ является критической точкой функции f(x), если производная f '(x₀) в ней равна нулю или не существует.

Первый достаточный признак существования экстремума
Если функция f(x) возрастает (f '(x) > 0) для всех x в некотором интервале (a, x₁] и убывает (f '(x) < 0) для всех x в интервале [x₁, b), то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x₁.
Аналогично, если функция f(x) убывает (f '(x) < 0) для всех x из интервала (a, x₂] и возрастает (f '(x) > 0) для всех x из интервала [x₂, b), то функция f(x) имеет локальный минимум в точке x₂.

Второй достаточный признак существования экстремума
Если f '(x₁) = 0 и f''(x₁) < 0, то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x₁.
Если f '(x₂) = 0 и f''(x₂) > 0, то функция f(x) имеет локальный минимум в точке x₂.

Выпуклость и вогнутость функции
Функция f(x) является выпуклой в точке x₀, если производная f '(x) в этой точке убывает (промежуток x < x₃ на приведенном выше рисунке).
Аналогично, функция f(x) является вогнутой в точке x₀, если производная f '(x) в этой точке возрастает (промежуток x > x₃).

Достаточные условия выпуклости и вогнутости функции
Если f''(x₀) > 0, то функция f(x) является вогнутой в точке x₀.
Если f''(x₀) < 0, то функция f(x) является выпуклой в точке x₀.
Если f''(x₀) = 0 или не существует в точке x₀, то данный признак не позволяет определить характер выпуклости функции в этой точке.

Точка перегиба
Если производная f '(x₃) существует в точке x₃, а вторая производная f''(x) меняет знак при переходе через x = x₃, то точка (x₃, f(x₃)) называется точкой перегиба графика функции f(x). Если вторая производная f''(x₃) существует в точке перегиба, то она равна нулю: f''(x₃) = 0.

Правило Лопиталя