Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся. Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

   Пример 1

Исследовать на сходимость ряд . Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

   Пример 2

Исследовать на сходимость ряд . Попробуем применить признак Лейбница: Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится.

   Пример 3

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

   Пример 4

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел . Вычислим этот предел по правилу Лопиталя: Таким образом, исходный ряд расходится.

   Пример 5

Исследовать на сходимость ряд Общий член данного ряда равен . Применим признак Даламбера к ряду , составленному из модулей: Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно.

   Пример 6

Исследовать, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся: Рассмотрим теперь сходимость ряда , составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем Следовательно исходный ряд сходится условно.

   Пример 7

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Сначала применим признак Лейбница: Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним соответствующий ряд из модулей с расходящимся гармоническим рядом : Поскольку ряд , составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.