Сходимость рядов Фурье

Говорят, что функция \(f\left( x \right),\) определенная в интервале \(\left[ {a,b} \right],\) является кусочно непрерывной, если она непрерывна всюду в данном интервале, за исключением конечного числа точек разрыва (рисунок \(1\)). Функция \(f\left( x \right),\) определенная в интервале \(\left[ {a,b} \right],\) является кусочно гладкой, если сама функция и ее производная кусочно непрерывны в заданном интервале. Введем понятие частичной суммы ряда Фурье \({f_N}\left( x \right)\) функции \(f\left( x \right),\) заданной в интервале \(\left[ {-\pi, \pi} \right].\) Она определяется выражением \[{f_N}\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx} \right)} .\] В комплексной форме частичная сумма \({f_N}\left( x \right)\) функции \(f\left( x \right),\) заданной в интервале \(\left[ {-\pi, \pi} \right],\) выражается формулой \[ {{f_N}\left( x \right) = \sum\limits_{n = - N}^N {{c_n}{e^{inx}}} } = {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {\frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{n = - N}^N {{e^{in\left( {x - y} \right)}}} } \right)f\left( y \right)dy} .} \] Функция \[{D_N}\left( x \right) = \sum\limits_{n = - N}^N {{e^{inx}}} = \frac{{\sin \left( {N + \frac{1}{2}} \right)x}}{{\sin \frac{x}{2}}}\] называется ядром Дирихле. На рисунке \(2\) показан вид этой функции при \(n = 10.\)

Частичная сумма ряда Фурье выражается через ядро Дирихле следующим образом: \[ {{f_N}\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{D_N}\left( {x - y} \right)f\left( y \right)dy} } = {\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{D_N}\left( y \right)f\left( {x - y} \right)dy} .} \] В данной секции мы рассмотрим три типа сходимости рядов Фурье: сходимость в точке, равномерную сходимость и сходимость в пространстве \({L_2}.\) Пусть \(f\left( x \right)\) является кусочно гладкой функцией в интервале \(\left[ {-\pi, \pi} \right].\) Тогда для любого \({x_0} \in \left[ { - \pi ,\pi } \right]\) выполняется условие \[ \lim\limits_{N \to \infty } {f_N}\left( {{x_0}} \right) = \begin{cases} f\left( {{x_0}} \right), & \text{если}\,f\left( x \right)\,\text{непрерывна в}\, \left[ { - \pi ,\pi } \right] \\ \frac{{f\left( {{x_0} - 0} \right) + f\left( {{x_0} + 0} \right)}}{2}, & \text{если}\,f\left( x \right)\,\text{имеет разрыв при}\, {{x_0}} \end{cases}, \] где \({f\left( {{x_0} - 0} \right)}\) и \({f\left( {{x_0} + 0} \right)}\) представляют собой, соответственно, левосторонний и правосторонний пределы в точке \({x_0}.\) Говорят, что последовательность частичных сумм ряда Фурье \(\left\{ {{f_N}\left( x \right)} \right\}\) сходится равномерно к функции \(f\left( x \right),\) если скорость сходимости частичных сумм \({{f_N}\left( x \right)}\) не зависит от \(x.\) (рисунок \(3\)). Будем говорить, что ряд Фурье функции \(f\left( x \right)\) сходится равномерно к этой функции, если \[\lim\limits_{N \to \infty } \left[ {\max\limits_{x \in \left[ { - \pi ,\pi } \right]} \left| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right|} \right] = 0.\] Теорема. Ряд Фурье \(2\pi\)-периодической непрерывной и кусочно гладкой функции сходится равномерно. Пространство \({L_2}\left( { - \pi ,\pi } \right)\) образовано функциями, удовлетворяющими условию \[\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {f\left( x \right)} \right|}^2}dx} < \infty .\] Будем говорить, что функция \(f\left( x \right)\) является квадратично интегрируемой, если она принадлежит классу \({L_2}.\) Если \(f\left( x \right)\) квадратично интегрируема, то \[\lim\limits_{N \to \infty } \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right|}^2}dx} = 0,\] то есть частичные суммы \({f_N}\left( x \right)\) сходятся к \(f\left( x \right)\) в смысле среднего квадратичного.

Из равномерной сходимости ряда Фурье следует как сходимость в точке, так и сходимость в пространстве \({L_2}.\) Обратное утверждение неверно: сходимость в пространстве \({L_2}\) не означает, что ряд Фурье сходится в точке или равномерно, и, аналогично, из сходимости в точке не вытекает равномерная сходимость или сходимость в пространстве \({L_2}.\) Если функция имеет разрыв второго рода в некоторой точке, то частичные суммы ряда Фурье будут осциллировать вблизи этой точки (смотрите рисунок \(4\)). Этот эффект называется феноменом или явлением Гиббса. В любой точке разрыва второго рода амплитуда выбросов примерно на \(18\%\) (при \(n \to \infty\)) превышает амплитуду скачка функции в точке разрыва.

   Пример 1

Вычислить интеграл \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {{D_N}\left( z \right)dz} .\) Воспользуемся соотношением \[{f_N}\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{D_N}\left( {x - y} \right)f\left( y \right)dy} .\] Ядро Дирихле \({D_N}\left( x \right)\) является четной и \(2\pi\)-периодической функцией. Поэтому можно записать \[{f_N}\left( x \right) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {{D_N}\left( {x - y} \right)f\left( y \right)dy} .\] Полагая \({f_N}\left( x \right) = f\left( x \right) = 1,\) подставим данную функцию в последнюю формулу. Получим \[1 = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {{D_N}\left( {x - y} \right)dy} .\] Сделаем теперь замену: \(z = x - y.\) Тогда \(y = x - z,\,dy = dz.\)
Найдем новые пределы интегрирования: если \(y = 0,\) то \(z = x\) и, соответственно, \(z = x - \pi\) при \(y = \pi.\)
В результате получаем \[ {1 = \frac{1}{\pi }\int\limits_x^{x - \pi } {{D_N}\left( z \right)\left( { - dz} \right)} \;\;\text{или}}\;\; {1 = \frac{1}{\pi }\int\limits_{x - \pi}^x {{D_N}\left( z \right)dz} .} \] Вследствие периодичности \({{D_N}\left( x \right)}\) можно записать \[1 = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^0 {{D_N}\left( z \right)dz} .\] Следовательно, \[\int\limits_{ - \pi }^\pi {{D_N}\left( z \right)dz} = 2\int\limits_{ - \pi }^0 {{D_N}\left( z \right)dz} = 2\pi .\] Можно предложить и другой способ вычисления данного интеграла. Перепишем его в виде \[I = \int\limits_{ - \pi }^\pi {{D_N}\left( z \right)dz} = 2\int\limits_0^\pi {{D_N}\left( z \right)dz} .\] Поскольку \[ {{D_N}\left( z \right) = \frac{{\sin \left( {N + \frac{1}{2}} \right)z}}{{\sin \frac{z}{2}}} } = {2\left( {\frac{1}{2} + \sum\limits_{n = 1}^N {\cos nz} } \right),} \] то мы можем проинтегрировать этот ряд почленно. Тогда \[ {I = 2\int\limits_0^\pi {{D_N}\left( z \right)dz} } = {4\int\limits_0^\pi {\left( {\frac{1}{2} + \sum\limits_{n = 1}^N {\cos nz} } \right)dz} } = {4\left[ {\left. {\left( {\frac{z}{2} + \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{\sin nz}}{n}} } \right)} \right|_0^\pi } \right].} \] Здесь \(\sin nz = 0\) при \(z = 0, \pi.\) Таким образом, \[I = 4 \cdot \frac{\pi }{2} = 2\pi .\]

   Пример 2

Пусть функция \(f\left( x \right) = \large\frac{{\pi - x}}{2}\normalsize\) определена в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right].\) Найти разложение данной функции в ряд Фурье в указанном интервале и вывести формулу для приближенного вычисления числа \(\pi.\) Вычислим сначала коэффициенты Фурье. \[ {{a_0} = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)dx} } = {\frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\pi - x}}{2}dx} } = {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\left. {\left( {\pi x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{2\pi }} \right] = 0.} \] Для \(n \ge 1:\) \[ {{a_n} = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)\cos nxdx} } = {\frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\pi - x}}{2}\cos nxdx} } = {\left. {\left( {\frac{{\pi - x}}{2}\frac{{\sin nx}}{{n\pi }}} \right)} \right|_0^{2\pi } + \frac{1}{{2\pi n}}\int\limits_0^{2\pi } {\sin nxdx} } = {0 - \frac{1}{{2\pi n}}\left[ {\left. {\left( {\frac{{\cos nx}}{n}} \right)} \right|_0^{2\pi }} \right] = 0,} \] \[ {{b_n} = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)\sin nxdx} } = {\frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{\pi - x}}{2}\sin nxdx} } = {\left. {\left( { - \frac{{\pi - x}}{2}\frac{{\cos nx}}{{n\pi }}} \right)} \right|_0^{2\pi } } - {\frac{1}{{2\pi n}}\int\limits_0^{2\pi } {\cos nxdx} } = {\left( { - \frac{{\frac{{\pi - 2\pi }}{2}\cos 2\pi n}}{{n\pi }} + \frac{{\frac{\pi }{2}\cos 0}}{{n\pi }}} \right) } - {\frac{1}{{2\pi n}}\left[ {\left. {\left( {\frac{{\sin nx}}{n}} \right)} \right|_0^{2\pi }} \right] } = {\frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{2n}} = \frac{1}{n}.} \] Таким образом, Фурье разложение имеет вид \[\frac{{\pi - x}}{2} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin nx}}{n}} \;\;\text{для}\;\;x \in \left[ {0,2\pi } \right].\] Полагая \(x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize,\) получим знакопеременный ряд для \(\large\frac{\pi }{4}\normalsize :\) \[ {\frac{\pi }{4} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{2}}}{n}} } = {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots } = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{2n - 1}}} .} \] Отсюда найдем представление числа \(\pi\) в виде бесконечного ряда: \[ {\pi = 4\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{2n - 1}}} } = {4\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots } \right).} \]

   Пример 3

Доказать, что ряд Фурье функции \(f\left( x \right) = {x^2}\) сходится равномерно к \(f\left( x \right)\) в интервале \(\left[ {-\pi, \pi} \right].\) Разложение функции \(f\left( x \right) = {x^2}\) в ряд Фурье в заданном интервале имеет вид: \[f\left( x \right) = {x^2} = \frac{{{\pi ^2}}}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos nx} .\] (Смотрите пример \(4\) на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры.)

Соответственно, частичные суммы определяются соотношением \[{f_N}\left( x \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos nx} .\] Тогда справедлива оценка \[ {\left| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right| } = {\left| {4\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos nx} - 4\sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos nx} } \right| } = {\left| {4\sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos nx} } \right| } \le {4\sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos nx} \right|} } \le {4\sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} .} \] Последняя сумма сходится к нулю при \(N \to \infty.\) В самом деле, применяя интегральный признак сходимости, находим, что \[ {\lim\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} } = {\lim\limits_{N \to \infty } \int\limits_{N + 1}^\infty {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} } = {\lim\limits_{N \to \infty } \left[ {\left. {\left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_{N + 1}^\infty } \right] } = {\lim\limits_{N \to \infty } \frac{1}{{N + 1}} = 0.} \] Таким образом, \[\lim\limits_{N \to \infty } \left[ {\max\limits_{x \in \left[ { - \pi ,\pi } \right]} \left| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right|} \right] = 0,\] что подразумевает равномерную сходимость ряда Фурье для функции \(f\left( x \right) = {x^2}.\)

   Пример 4

Доказать, что ряд Фурье функции \(f\left( x \right) = x,\) заданный в интервале \(\left[ {-\pi, \pi} \right],\) сходится в пространстве \({L_2}.\) Разложение в ряд Фурье функции \(f\left( x \right) = x\) в интервале \(\left[ {-\pi, \pi} \right]\) выражается формулой \[f\left( x \right) = x = 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}\sin nx} .\] (Смотрите пример \(3\) на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры.)

Тогда частичные суммы определяются выражением \[{f_N}\left( x \right) = 2\sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}\sin nx} .\] Вычислим предел \[ {\lim\limits_{N \to \infty } \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right|}^2}dx} } = {\lim\limits_{N \to \infty } \left\| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right\|,} \] где \(\left\| {f\left( x \right)} \right\|\) обозначает норму функции \({f\left( x \right)}\) в пространстве \({L_2}.\) Найдем норму \(\left\| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right\|:\) \[ {\left\| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right\| } = {\sqrt {\frac{1}{{2\pi }}{{\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}\sin nx} - \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{2{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}\sin nx} } \right|} }^2}dx} } = {\left\| {\sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\frac{{2{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}\sin nx} } \right\|.} \] Используя неравенство треугольников \(\left\| {f + g} \right\| \le \left\| f \right\| + \left\| g \right\|\) для функций в пространстве \({L_2},\) можно записать \[ {\left\| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right\| } = {\left\| {\sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\frac{{2{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}\sin nx} } \right\| } \le {\sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\left\| {\frac{{2{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}\sin nx} \right\|} } \le {\sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\left\| {\frac{2}{n}} \right\|} } = {\lim\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{n = N + 1}^\infty {{{\left( {\frac{2}{n}} \right)}^2}} } = {\lim\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\frac{4}{{{n^2}}}}. } \] Последний предел равен нулю: \[ {\lim\limits_{N \to \infty } \left\| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right\| } = {\lim\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{n = N + 1}^\infty {\frac{4}{{{n^2}}}} = 0.} \] Таким образом, доказано, что в заданном интервале ряд Фурье функции \(f\left( x \right) = x\) сходится в смысле среднеквадратичного к самой функции.

   Пример 5

Известно, что ряд Фурье функции \(f\left( x \right) = \large\frac{{\pi - x}}{2}\normalsize,\) заданной в интервале \(\left[ {0,2\pi } \right],\) выражается формулой \(f\left( x \right) = \large\frac{{\pi - x}}{2}\normalsize = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{\sin nx}}{n}\normalsize} \) (смотрите пример \(2\) выше). Исследовать поведение частичных сумм \({f_N}\left( x \right).\) Частичные суммы данного ряда Фурье определяются выражением \[{f_N}\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{\sin nx}}{n}} .\] На рисунке \(5\) показано как частичные суммы при различных значениях \(N\) аппроксимируют заданную функцию. Видно, что выброс, обусловленный явлением Гиббса, происходит на все меньшем и меньшем интервале при увеличении \(N.\) Исследуем амплитуду этого выброса при \(N \to \infty .\) Интегрируя почленно, частичные суммы можно записать в виде \[{f_N}\left( x \right) = \int\limits_0^x {\left( {\sum\limits_{n = 1}^N {\cos nt} } \right)dt} .\] Далее, используя соотношение \[ {\frac{1}{2} + \sum\limits_{n = 1}^N {\cos nt} } = {\frac{1}{2} + \cos t + \cos 2t + \ldots + \cos nt = \frac{{\sin \frac{{2n + 1}}{2}t}}{{2\sin \frac{t}{2}}},} \] получаем \[ {{f_N}\left( x \right) = \int\limits_0^x {\left( {\frac{1}{2} - \frac{{\sin \frac{{2n + 1}}{2}t}}{{2\sin \frac{t}{2}}}} \right)dt} } = { - \frac{x}{2} + \int\limits_0^x {\frac{{\sin \frac{{2n + 1}}{2}t}}{{2\sin \frac{t}{2}}}dt} .} \] Положим \({x_N} = \large\frac{{2\pi }}{{2N + 1}}\normalsize.\) Тогда \[{f_N}\left( {{x_N}} \right) + \frac{{{x_N}}}{2} = \int\limits_0^{{x_N}} {\frac{{\sin \frac{{2N + 1}}{2}t}}{{2\sin \frac{t}{2}}}dt} .\] Сделаем замену: \(\large\frac{{2N + 1}}{2}\normalsize t = z,\;dt = \large\frac{2}{{2N + 1}}\normalsize dz.\) Здесь \(z = 0\) при \(t = 0,\) и \(z = \large\frac{{2N + 1}}{2}\normalsize \cdot \large\frac{{2\pi }}{{2N + 1}}\normalsize = \pi \) при \(t = {x_N} = \large\frac{{2\pi }}{{2N + 1}}\normalsize.\) Следовательно, получаем \[ {{f_N}\left( {{x_N}} \right) + \frac{{{x_N}}}{2} } = {\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin z}}{{2\sin \frac{z}{{2N + 1}}}} \cdot \frac{{2dz}}{{2N + 1}}} } = {\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin z}}{{\sin \frac{z}{{2N + 1}}\left( {2N + 1} \right)}}dz} } = {\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin z}}{{\frac{{z \cdot \sin \frac{z}{{2N + 1}}}}{{\frac{z}{{2N + 1}}}}}}dz.} } \] Отсюда находим, что \({f_N}\left( x \right) = \int\limits_0^\pi {\large\frac{{\sin z}}{z}\normalsize dz} \) при \(N \to \infty,\) поскольку \[ {\lim\limits_{N \to \infty } {x_N} = \lim\limits_{N \to \infty } \frac{{2\pi }}{{2N + 1}} = 0\;\;\text{и}}\;\; {\lim\limits_{N \to \infty } \frac{{\sin \frac{z}{{2N + 1}}}}{{\frac{z}{{2N + 1}}}} = 1.} \] Интеграл \(\int\limits_0^x {\large\frac{{\sin z}}{z}\normalsize dz} \) называется интегральным синусом и обозначается как \[\text{Si}\left( x \right) = \int\limits_0^x {\frac{{\sin z}}{z}dz} .\] Возвращаясь к началу решения, можно записать, что \[ {\lim\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{\sin n{x_N}}}{n}} } = {\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin z}}{z}dz} } = {\text{Si}\left( \pi \right),} \] где \(\text{Si}\left( \pi \right) \approx {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} \cdot 1,17898.\)

Как видно, амплитуда выброса вследствие эффекта Гиббса составляет примерно \(18\%.\)