Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Определение и графики тригонометрических функций
Величины углов (аргументы функций): \(\alpha\), \(x\)
Тригонометрические функции: \(\sin \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\tan \alpha \), \(\cot \alpha \), \(\sec \alpha \), \(\csc \alpha \)
Множество действительных чисел: \(\mathbb{R}\)
Координаты точки окружности: \(x\), \(y\)
Радиус круга: \(r\)
Целые числа: \(k\)
  1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

  2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

  3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом \(r = 1\). На окружности обозначена точка \(M\left( {x,y} \right)\). Угол между радиус-вектором \(OM\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\alpha\).

    единичный круг

  4. Синусом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( {x,y} \right)\) к радиусу \(r\):
    \(\sin \alpha = y/r\).
    Поскольку \(r = 1\), то синус равен ординате точки \(M\left( {x,y} \right)\).

  5. Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( {x,y} \right)\) к радиусу \(r\):
    \(\cos \alpha = x/r\)

  6. Тангенсом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( {x,y} \right)\) к ee абсциссе \(x\):
    \(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)

  7. Котангенсом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( {x,y} \right)\) к ее ординате \(y\):
    \(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)

  8. Секанс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к абсциссе \(x\) точки \(M\left( {x,y} \right)\):
    \(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)

  9. Косеканс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к ординате \(y\) точки \(M\left( {x,y} \right)\):
    \(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)

  10. В единичном круге проекции \(x\), \(y\) точки \(M\left( {x,y} \right)\) и радиус \(r\) образуют прямоугольный треугольник, в котором \(x,y\) являются катетами, а \(r\) − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
    Синусом угла \(\alpha\) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
    Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
    Тангенсом угла \(\alpha\) называется противолежащего катета к прилежащему.
    Котангенсом угла \(\alpha\) называется прилежащего катета к противолежащему.
    Секанс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
    Косеканс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

  11. График функции синус
    \(y = \sin x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}\), область значений: \(-1 \le \sin x \le 1\)

  12. график функции синус

  13. График функции косинус
    \(y = \cos x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}\), область значений: \(-1 \le \cos x \le 1\)

  14. график функции косинус

  15. График функции тангенс
    \(y = \tan x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}, x \ne \left( {2k + 1} \right)\pi/2\), область значений: \(- \infty < \tan x < \infty\)

  16. график функции тангенс

  17. График функции котангенс
    \(y = \cot x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}, x \ne k\pi\), область значений: \(- \infty < \cot x < \infty\)

  18. график функции котангенс

  19. График функции секанс
    \(y = \sec x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}, x \ne \left( {2k + 1} \right)\pi/2\), область значений: \(\sec x \in \left( {-\infty , -1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\)

  20. график функции секанс

  21. График функции косеканс
    \(y = \csc x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}, x \ne k\pi\), область значений: \(\csc x \in \left( {-\infty , -1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\)

  22. график функции секанс



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.