Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Функции нескольких переменных
Функции двух переменных: \(z\left( {x,y} \right)\), \(f\left( {x,y} \right)\), \(g\left( {x,y} \right)\), \(h\left( {x,y} \right)\), \(F\left( {x,y} \right)\)
Аргументы: \(x\), \(y\), \(t\)
Малые приращения переменных \(x\), \(y\), \(z\), соответственно: \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\).
Определитель: \(D\)
  1. Понятие функции одной переменной легко обобщается на случай двух и большего числа аргументов. В случае функции двух переменных будем рассматривать множество упорядоченных пар \(\left( {x,y} \right)\), где числовые значения \(x\) и \(y\) принадлежат множествам \(x \in X\), \(y \in Y\). Если задан закон, согласно которому каждой паре \(\left( {x,y} \right)\) соответствует единственное числовое значение \(z\), то говорят, что задана функция двух переменных. Обычно такая функция обозначается в виде
    \(z = z\left( {x,y} \right)\), \(z = f\left( {x,y} \right)\), \(z = F\left( {x,y} \right)\) и т.д.
    Аналогичным образом определяется функция \(n\) переменных.

  2. Частные производные первого порядка
    Для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производной функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы. Например, для функции двух переменных \(z = f\left( {x,y} \right)\) рассматриваются частные производные по переменной \(x\) и по переменной \(y\). Они обозначаются следующим образом:
    \(\large\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\normalsize = \large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\normalsize = {z'_x} = {f'_x},\;\;\large\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\normalsize = \large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\normalsize = {z'_y} = {f'_y}\)

  3. Частные производные второго порядка  
    \(\large\frac{\partial }{{\partial x}}\normalsize\left( {\large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}\normalsize \right) = \large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\normalsize = {f''_{xx}},\;\;\) \(\large\frac{\partial }{{\partial y}}\normalsize\left( {\large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}\normalsize \right) = \large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}\normalsize = {f''_{yy}},\)
    \(\large\frac{\partial }{{\partial y}}\normalsize\left( {\large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}\normalsize \right) = \large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\,\partial x}}\normalsize = {f''_{xy}},\;\;\) \(\large\frac{\partial }{{\partial x}}\normalsize\left( {\large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}\normalsize \right) = \large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\,\partial y}}\normalsize = {f''_{yx}}.\)

    Если смешанные частные производные являются непрерывными функциями, то они не зависят от порядка дифференцирования:
    \(\large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\,\partial x}}\normalsize = \large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x \,\partial y}}\normalsize\)

  4. Дифференцирование сложной функции двух переменных
    Если \(f\left( {x,y} \right) = g\left( {h\left( {x,y} \right)} \right)\), где \(g\) − функция одной переменной \(h\), то частные производные равны \(\large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\normalsize = g'\left( {h\left( {x,y} \right)} \right)\large\frac{{\partial h}}{{\partial x}}\normalsize,\;\;\large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\normalsize = g'\left( {h\left( {x,y} \right)} \right)\large\frac{{\partial h}}{{\partial y}}\normalsize.\)

    Если \(h\left( t \right) = f\left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)\), то производная находится по формуле
    \(h'\left( t \right) = \large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\frac{{dx}}{{dt}}\normalsize + \large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\frac{{dy}}{{dt}}\normalsize.\)

    Если \(z = f\left( {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right)} \right)\), то частные производные определяются выражениями
    \(\large\frac{{\partial z}}{{\partial u}}\normalsize = \large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\normalsize + \large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\normalsize,\;\;\large\frac{{\partial z}}{{\partial v}}\normalsize = \large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\frac{{\partial x}}{{\partial v}}\normalsize + \large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\frac{{\partial y}}{{\partial v}}\normalsize.\)

  5. Малые приращения функции  
    \(\Delta z \approx \large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\normalsize\Delta x + \large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\normalsize\Delta y\)

  6. Локальные максимум и минимум
    Функция \(f\left( {x,y} \right)\) имеет локальный максимум в точке \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\), если \(f\left( {x,y} \right) < f\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) для всех \(\left( {x,y} \right)\), достаточно близких к \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\).
    Аналогично, функция \(f\left( {x,y} \right)\) имеет локальный минимум в точке \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\), если \(f\left( {x,y} \right) > f\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) для всех \(\left( {x,y} \right)\), достаточно близких к \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\).
    Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

  7. Стационарные и критические точки
    Точки, в которых все частные производные функции равны нулю, называются стационарными точками. Для функции двух переменных стационарные точки находятся из системы уравнений
    \(\large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\normalsize = \large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\normalsize = 0.\)

    Локальные максимум и минимум представляют собой стационарные точки. Стационарные точки вместе с точками из области определения функции, в которых частные производные не существуют, образуют множество критических точек.

  8. Седловая точка
    Стационарная точка, которая не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом, называется седловой точкой.

  9. Достаточное условие существования экстремума
    Пусть \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) является стационарной точкой (т.е. частные производные первого порядка в ней равны нулю). Рассмотрим определитель, составленный из значений частных производных второго порядка в данной точке:
    \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\normalsize\left( {{x_0},{y_0}} \right)} & {\large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\,\partial x}}\normalsize\left( {{x_0},{y_0}} \right)}\\ {\large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\,\partial y}}\normalsize\left( {{x_0},{y_0}} \right)} & {\large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}\normalsize\left( {{x_0},{y_0}} \right)} \end{array}} \right|.\)

    Если \(D > 0\) и частная производная \(\large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\normalsize\left( {{x_0},{y_0}} \right) > 0\), то \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) является точкой локального минимума.
    Если \(D > 0\) и частная производная \(\large\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\normalsize\left( {{x_0},{y_0}} \right) < 0\), то \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) является точкой локального максимума.
    Если \(D < 0\), то \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) является седловой точкой.
    Если \(D = 0\), то для определения типа стационарной точки необходимо дальнейшее исследование.

  10. Касательная плоскость
    Уравнение касательной плоскости к поверхности \(z = f\left( {x,y} \right)\) в точке \(\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) имеет вид
    \(z - {z_0} = \large\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\normalsize\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \large\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\normalsize\left( {{x_0},{y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right).\)

  11. Нормаль к поверхности
    Уравнение нормали к поверхности \(z = f\left( {x,y} \right)\) в точке \(\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) записывается как
    \(\large\frac{{x - {x_0}}}{{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {{x_0},{y_0}} \right)}}\normalsize = \large\frac{{y - {y_0}}}{{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\left( {{x_0},{y_0}} \right)}}\normalsize = \large\frac{{z - {z_0}}}{{ - 1}}\normalsize.\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.