Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Функции и их графики
Функции: \(f\), \(g\), \(y\), \(u\)
Аргумент (независимая переменная): \(x\)
Множество натуральных чисел: \(\mathbb{N}\)
Множество действительных чисел: \(\mathbb{R}\)
Множество комплексных чисел: \(\mathbb{C}\)
Основание натуральных логарифмов: \(e\)
Натуральные числа: \(n\)
Целые числа: \(k\)
Действительные числа: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)
Угол: \(\alpha\)
Период функции: \(T\)
  1. Понятие функции является одним из основных в математике. Оно вводится следующим образом. Пусть заданы два множества \(X\) и \(Y\). Если каждому элементу \(x\) из множества \(X\) поставлен в соответствие элемент \(y = f\left( x \right)\) множества \(Y\), то говорят, что на множестве \(X\) задана функция \(f\). При этом элемент \(x\) называется независимой переменной, а элемент \(y\) − зависимой переменной. Если рассматриваются числовые множества \(X \subset \mathbb{C}\), \(Y \subset \mathbb{C}\) (\(\mathbb{C}\) − множество комплексных чисел), то говорят, соответственно, о числовой функции \(f\). В случае, когда \(x\) и \(y\) являются действительными числами, функцию \(y = f\left( x \right)\) можно представить в виде графика в декартовой системе координат \(Oxy\).

  2. Четная функция
    \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

  3. Нечетная функция
    \(f\left( { - x} \right) = -f\left( x \right)\)

  4. Периодическая функция
    \(f\left( {x + kT} \right) = f\left( x \right)\),
    где \(k\) − целое число, \(T\) − период функции.

  5. Обратная функция
    Пусть задана функция \(y = f\left( x \right)\). Чтобы найти обратную для нее функцию, надо из уравнения \(y = f\left( x \right)\) выразить переменную \(x\) через \(y\), и затем поменять переменные местами. Обратную функцию часто обозначают в виде \(y = {f^{ - 1}}\left( x \right)\). Исходная и обратная функции симметричны относительно прямой \(y = x\).

    расположение обратной функции на координатной плоскости

  6. Сложная функция
    Предположим, что функция \(y = f\left( u \right)\) зависит от некоторой промежуточной переменной \(u\), которая, в свою очередь, является функцией независимой переменной \(x\): \(u = g\left( x \right)\). В таком случае, зависимость \(y\) от \(x\) представляет собой "функцию от функции" или сложную функцию, которую можно записать как \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\). "Двухслойные" сложные функции легко обобщаются на произвольное число "слоев".

  7. Линейная функция
    \(y = ax + b, \;x \in \mathbb{R}\).
    Здесь число \(a\) называется угловым коэффициентом прямой. Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс: \(a = \tan \alpha\). Число \(b\) является координатой точки, в которой прямая пересекает ось \(Oy\).

    схематический вид линейной функции

  8. Квадратичная функция
    Простейшая квадратичная функция имеет вид
    \(y = x^2, \;x \in \mathbb{R}\).
    В общем случае квадратичная функция описывается формулой
    \(y = ax^2 + bx + c, \;x \in \mathbb{R}\),
    где \(a\), \(b\), \(c\) − действительные числа (при этом \(a \ne 0\)). График квадратичной функции называется параболой. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента \(a\). При \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх, при \(a < 0\) − вниз.

    графики квадратичной функции при различных значения коэффициента а

  9. Кубическая функция
    Простейшая кубическая функция выражается формулой
    \(y = x^3, \;x \in \mathbb{R}\).
    В общем случае кубическая функция описывается в виде
    \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d, \;x \in \mathbb{R}\),
    где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) − действительные числа (\(a \ne 0\)). График кубической функции называется кубической параболой. При \(a > 0\) кубическая функция является возрастающей, при \(a < 0\) − убывающей.

    схематический вид кубической функции

  10. Степенная функция  
    \(y = x^n, \;x \in \mathbb{R},\;n \in \mathbb{N}\).

    графики степенной функции при различных значениях показателя степени

  11. Корневая функция  
    \(y = \sqrt x ,\;x \in \left[ {0,\infty } \right).\)

    функция квадратный корень

  12. Показательная и экспоненциальная функции
    \(y = a^x,\;x \in \mathbb{R},\;a > 0,\;a \ne 1,\)
    \(y = e^x\) при \(a = e \approx 2.71828182846\ldots\)
    Показательная функция возрастает при \(a > 1\) и убывает при \(0 < a < 1\).

    показательная функция при разном основании

  13. Логарифмическая функция
    \(y = {\log_a}x,\;x \in \left( {0,\infty } \right),\;a > 0,\;a \ne 1,\)
    \(y = \ln x\) при \(a = e,\;x \in \left( {0,\infty } \right).\)
    Логарифмическая функция является возрастающей при \(a > 1\) и убывающей при \(0 < a < 1\).

    логарифмическая функция при различных значениях основания

  14. Гиперболический синус  
    \(y = \sinh x = \large\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}\normalsize,\;x \in \mathbb{R}.\)

    функция гиперболический синус

  15. Гиперболический косинус  
    \(y = \cosh x = \large\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}\normalsize,\;x \in \mathbb{R}.\)

    функция гиперболический косинус

  16. Гиперболический тангенс  
    \(y = \tanh x = \large\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\normalsize,\;x \in \mathbb{R}.\)

    функция гиперболический тангенс

  17. Гиперболический котангенс  
    \(y = \coth x = \large\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\normalsize,\;x \in \mathbb{R},\;x \ne 0.\)

    функция гиперболический котангенс

  18. Гиперболический секанс  
    \(y = {\mathop{\rm sech}\nolimits}\,x = \large\frac{1}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\normalsize,\;x \in \mathbb{R}.\)

    гиперболический секанс

  19. Гиперболический косеканс  
    \(y = {\mathop{\rm csch}\nolimits}\,x = \large\frac{1}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\normalsize,\;x \in \mathbb{R},\;x \ne 0.\)

    гиперболический косеканс

  20. Обратный гиперболический синус  
    \(y = {\mathop{\rm arcsinh}\nolimits}\,x,\;x \in \mathbb{R}.\)

    обратный гиперболический синус

  21. Обратный гиперболический косинус  
    \(y = {\mathop{\rm arccosh}\nolimits}\,x,\;x \in \left[ {1,\infty } \right).\)

    обратный гиперболический косинус

  22. Обратный гиперболический тангенс  
    \(y = {\mathop{\rm arctanh}\nolimits}\,x,\;x \in \left( {-1,1} \right).\)

    обратный гиперболический тангенс

  23. Обратный гиперболический котангенс  
    \(y = {\mathop{\rm arccoth}\nolimits}\,x,\;x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {1,\infty } \right).\)

    обратный гиперболический котангенс

  24. Обратный гиперболический секанс  
    \(y = {\mathop{\rm arcsech}\nolimits}\,x,\;x \in \left( {0,1} \right].\)

    обратный гиперболический секанс

  25. Обратный гиперболический косеканс  
    \(y = {\mathop{\rm arccsch}\nolimits}\,x,\;x \in \mathbb{R},\;x \ne 0.\)

    обратный гиперболический косеканс



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.