Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Формулы редукции для интегралов
Функции: \({e^x}\), \({x^n}\), \(\sinh x\), \(\cosh x\), \(\tanh x\), \(\text {coth }x\), \(\text {sech }x\), \(\text {csch }x\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\), \(\cot x\), \(\ln x\), \(\arcsin x\), \(\arccos x\), \(\arctan x\)
Аргумент (независимая переменная): \(x\)
Натуральные числа: \(n\), \(m\)
Действительные числа: \(a\), \(b\), \(c\)
  1. Для нахождения некоторых интегралов можно использовать формулы редукции. Такие формулы позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов. Ниже приводятся формулы редукции для интегралов от наиболее распространенных функций.

  2. \(\large\int\normalsize {{x^n}{e^{mx}}dx} = \large\frac{1}{m}\normalsize{x^n}{e^{mx}} - \large\frac{n}{m}\normalsize \large\int\normalsize {{x^{n - 1}}{e^{mx}}dx} \) 

  3. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{{e^{mx}}}}{{{x^n}}}\normalsize dx} = - \large\frac{{{e^{mx}}}}{{\left( {n - 1} \right){x^{n - 1}}}}\normalsize + \large\frac{m}{{n - 1}}\normalsize \large\int\normalsize {\large\frac{{{e^{mx}}}}{{{x^{n - 1}}}}\normalsize dx} ,\;\;n \ne 1.\) 

  4. \(\large\int\normalsize {{{\sinh }^n}x\,dx} = - \large\frac{1}{n}\normalsize{\sinh ^{n - 1}}x\cosh x - \large\frac{{n - 1}}{n}\normalsize \large\int\normalsize {{{\sinh }^{n - 2}}x\,dx} \) 

  5. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{{\sinh }^n}x}}\normalsize} = - \large\frac{{\cosh x}}{{\left( {n - 1} \right){{\sinh }^{n - 1}}x}}\normalsize + \large\frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{{\sinh }^{n - 2}}x}}\normalsize} ,\;\;n \ne 1.\) 

  6. \(\large\int\normalsize {{\cosh^n}x\,dx} = \large\frac{1}{n}\normalsize\sinh x\,{\cosh^{n - 1}}x - \large\frac{{n - 1}}{n}\int\normalsize {{\cosh^{n - 2}}x\,dx} \) 

  7. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{\cosh^n}x}}\normalsize} = - \large\frac{{\sinh x}}{{\left( {n - 1} \right){\cosh^{n - 1}}x}}\normalsize + \large\frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{\cosh^{n - 2}}x}}\normalsize} ,\;\;n \ne 1.\) 

  8. \(\large\int\normalsize {{\sinh^n}x\,{\cosh^m}x\,dx} = \large\frac{{{\sinh^{n + 1}}x\,{\cosh^{m - 1}}x}}{{n + m}}\normalsize + \large\frac{{m - 1}}{{n + m}}\int\normalsize {{\sinh^n}x\,{\cosh^{m - 2}}x\,dx} \) 

  9. \(\large\int\normalsize {{\sinh^n}x\,{\cosh^m}x\,dx} = \large\frac{{{\sinh^{n - 1}}x\,{\cosh^{m + 1}}x}}{{n + m}}\normalsize - \large\frac{{n - 1}}{{n + m}}\int\normalsize {{\sinh^{n - 2}}x\,{\cosh^m}x\,dx} \) 

  10. \(\large\int\normalsize {{\tanh^n}x\,dx} = - \large\frac{1}{{n - 1}}\normalsize {\tanh^{n - 1}}x + \large\int\normalsize {{\tanh^{n - 2}}x\,dx} ,\;\;n \ne 1.\) 

  11. \(\large\int\normalsize {{\coth^n}x\,dx} = - \large\frac{1}{{n - 1}}\normalsize {\coth^{n - 1}}x + \large\int\normalsize {{\coth^{n - 2}}x\,dx} ,\;\;n \ne 1.\) 

  12. \(\large\int\normalsize {{\text{sech}^n}x\,dx} = \large\frac{{{\text{sech}^{n - 2}}x\tanh x}}{{n - 1}}\normalsize + \large\frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int\normalsize {{\text{sech}^{n - 2}}x\,dx} ,\;\;n \ne 1.\) 

  13. \(\large\int\normalsize {{\sin^n}x\,dx} = - \large\frac{1}{n}\normalsize{\sin ^{n - 1}}x\cos x + \large\frac{{n - 1}}{n}\int\normalsize {{\sin^{n - 2}}x\,dx} \) 

  14. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{\sin^n}x}}\normalsize} = - \large\frac{{\cos x}}{{\left( {n - 1} \right){{\sin }^{n - 1}}x}\normalsize} + \large\frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{\sin^{n - 2}}x}}\normalsize} ,\;\;n \ne 1.\) 

  15. \(\large\int\normalsize {{\cos^n}x\,dx} = \large\frac{1}{n}\normalsize \sin x\,{\cos^{n - 1}}x + \large\frac{{n - 1}}{n}\int\normalsize {{\cos^{n - 2}}x\,dx} \) 

  16. \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{\cos^n}x}}\normalsize} = \large\frac{{\sin x}}{{\left( {n - 1} \right){{\cos }^{n - 1}}x}\normalsize} + \large\frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{\cos^{n - 2}}x}}\normalsize} ,\;\;n \ne 1.\) 

  17. \(\large\int\normalsize {{\sin^n}x\,{\cos^m}x\,dx} = \large\frac{{{{\sin }^{n + 1}}x\,{\cos^{m - 1}}x}}{{n + m}}\normalsize + \large\frac{{m - 1}}{{n + m}}\int\normalsize {{\sin^n}x\,{\cos^{m - 2}}x\,dx} \) 

  18. \(\large\int\normalsize {{\sin^n}x\,{\cos^m}x\,dx} = -\large\frac{{{{\sin }^{n - 1}}x\,{\cos^{m + 1}}x}}{{n + m}}\normalsize + \large\frac{{n - 1}}{{n + m}}\int\normalsize {{\sin^{n - 2}}x\,{\cos^m}x\,dx} \) 

  19. \(\large\int\normalsize {{\tan^n}x\,dx} = \large\frac{1}{{n - 1}}\normalsize {\tan^{n - 1}}x - \large\int\normalsize {{\tan^{n - 2}}x\,dx} ,\;\;n \ne 1.\) 

  20. \(\large\int\normalsize {{\cot^n}x\,dx} = -\large\frac{1}{{n - 1}}\normalsize {\cot^{n - 1}}x - \large\int\normalsize {{\cot^{n - 2}}x\,dx} ,\;\;n \ne 1.\) 

  21. \(\large\int\normalsize {{\sec^n}x\,dx} = \large\frac{{{\sec^{n - 2}}x\tan x}}{{n - 1}}\normalsize + \large\frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int\normalsize {{\sec^{n - 2}}x\,dx} ,\;\;n \ne 1.\) 

  22. \(\large\int\normalsize {{\csc^n}x\,dx} = -\large\frac{{{\csc^{n - 2}}x\cot x}}{{n - 1}}\normalsize + \large\frac{{n - 2}}{{n - 1}}\int\normalsize {{\csc^{n - 2}}x\,dx} ,\;\;n \ne 1.\) 

  23. \(\large\int\normalsize {{x^n}{\ln^m}x\,dx} = \large\frac{{{x^{n + 1}}{\ln^m}x}}{{n + 1}}\normalsize - \large\frac{m}{{n + 1}}\int\normalsize {{x^n}{\ln^{m - 1}}x\,dx} \) 

  24. \(\large\int {\frac{{{\ln^m}x}}{{{x^n}}}\normalsize dx} = - \large\frac{{{\ln^m}x}}{{\left( {n - 1} \right){x^{n + 1}}}}\normalsize + \large\frac{m}{{n - 1}}\int\normalsize {\large\frac{{{\ln^{m - 1}}x}}{{{x^n}}}\normalsize dx},\;\;n \ne 1.\) 

  25. \(\large\int\normalsize {{\ln^n}x\,dx} = x\,{\ln ^n}x - n\large\int\normalsize {{\ln^{n - 1}}x\,dx} \) 

  26. \(\large\int\normalsize {{x^n}\sinh x\,dx} = {x^n}\cosh x - n\large\int\normalsize {{x^{n - 1}}\cosh x\,dx} \) 

  27. \(\large\int\normalsize {{x^n}\cosh x\,dx} = {x^n}\sinh x - n\large\int\normalsize {{x^{n - 1}}\sinh x\,dx} \) 

  28. \(\large\int\normalsize {{x^n}\sin x\,dx} = -{x^n}\cos x + n\large\int\normalsize {{x^{n - 1}}\cos x\,dx} \) 

  29. \(\large\int\normalsize {{x^n}\cos x\,dx} = {x^n}\sin x - n\large\int\normalsize {{x^{n - 1}}\sin x\,dx} \) 

  30. \(\large\int\normalsize {{x^n}\arcsin x\,dx} = \large\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\normalsize \arcsin x - \large\frac{1}{{n + 1}}\int\normalsize {\large\frac{{{x^{n + 1}}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize dx} \) 

  31. \(\large\int\normalsize {{x^n}\arccos x\,dx} = \large\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\normalsize \arccos x + \large\frac{1}{{n + 1}}\int\normalsize {\large\frac{{{x^{n + 1}}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize dx} \) 

  32. \(\large\int\normalsize {{x^n}\arctan x\,dx} = \large\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\normalsize \arctan x - \large\frac{1}{{n + 1}}\int\normalsize {\large\frac{{{x^{n + 1}}}}{{ 1 + {x^2} }}\normalsize dx} \) 

  33. \(\large\int {\frac{{{x^n}}}{{a{x^n} + b}}\normalsize dx} = \large\frac{x}{a}\normalsize - \large\frac{b}{a}\int {\frac{{dx}}{{a{x^n} + b}}}\normalsize \) 

  34. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}^{\,n}}}}}\normalsize = \large\frac{{ - 2ax - b}}{{\left( {n - 1} \right)\left( {{b^2} - 4ac} \right){{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}^{\,n - 1}}}}\normalsize - \large\frac{{2\left( {2n - 3} \right)a}}{{\left( {n - 1} \right)\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}^{\,n - 1}}}}\normalsize} ,\;\;n \ne 1.\) 

  35. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^n}}}}\normalsize = \large\frac{x}{{2\left( {n - 1} \right){a^2}{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^{n - 1}}}}\normalsize + \large\frac{{2n - 3}}{{2\left( {n - 1} \right){a^2}}}\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^{n - 1}}}}\normalsize} ,\;\;n \ne 1.\) 

  36. \(\large\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} - {a^2}} \right)}^n}}}}\normalsize = -\large\frac{x}{{2\left( {n - 1} \right){a^2}{{\left( {{x^2} - {a^2}} \right)}^{n - 1}}}}\normalsize - \large\frac{{2n - 3}}{{2\left( {n - 1} \right){a^2}}}\int\normalsize {\large\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} - {a^2}} \right)}^{n - 1}}}}\normalsize} ,\;\;n \ne 1.\) 



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.