Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Факториал
Натуральные числа: \(n\), \(k\)
Действительные числа: \(x\)
Факториал числа \(n\): \(n!\)
Гамма-функция: \(\Gamma \left( x \right)\)
  1. Факториалом числа \(n\) называется произведение всех натуральных чисел, меньше или равныx \(n\). Факториал обозначается \(n!\)
    \(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \left( {n - 1} \right) \cdot n\)

  2. Факториал нуля по определению равен \(1\).
    \(0! = 1\)

  3. Значения факториалов чисел от \(1\) до \(10\) 

  4. \(n\)\(n!\)\(n\)\(n!\)
    116720
    2275040
    36840320
    4249362880
    5120103628800

  5. Рекуррентное соотношение
    \(\left( {n + 1} \right)! = n! \cdot \left( {n + 1} \right)\)

  6. Обобщение факториала для неотрицательных действительных чисел
    Факториал числа \(x\) выражается через гамма-функцию по формуле
    \(x! = \Gamma \left( {x + 1} \right)\),
    которая позволяет вычислить факториал для любых действительных чисел \(x \ge 0\).

  7. Скорость возрастания
    Факториал возрастает быстрее, чем экспоненциальная функция. Неравенство \(n! > \exp \left( n \right)\) выполняется при всех \(n \ge 6\). При \(n \ge 1\) справедливо соотношение
    \(n \le n! \le {n^n}\).

  8. Формула Стирлинга
    При больших \(n\) значение факториала можно определить с помощью асимптотической формулы Стирлинга:
    \(n! \approx {n^n}\sqrt {2\pi n} \,\exp \left( { - n} \right)\left[ {1 + \large\frac{1}{{12n}}\normalsize + \large\frac{1}{{288{n^2}}}\normalsize - \large\frac{{139}}{{51840{n^3}}}\normalsize - \ldots } \right]\).

    Данная формула с учетом лишь первого члена в разложении принимает вид
    \(n! \approx {n^n}\sqrt {2\pi n} \,\exp \left( { - n} \right)\).

  9. Двойной факториал
    Двойной факториал представляет собой произведение всех натуральных чисел от \(1\) до \(n\) той же самой четности, что и число \(n\). Двойной факториал обозначается как \(n!!\)
    \(\left( {2k} \right)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2k - 2} \right) \cdot 2k\)
    \(\left( {2k + 1} \right)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2k - 1} \right) \cdot \left( {2k + 1} \right)\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.