Math24.ru
Дифференциальные Уравнения
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Уравнения, не разрешенные относительно производной
Определение и методы решения
Уравнение вида \[F\left( {x,y,y'} \right) = 0,\] где \(F\) − непрерывная функция, называется уравнением первого порядка, не разрешенным относительно производной. Если это уравнение можно решить относительно \(y',\) то мы получаем одно или несколько явных дифференциальных уравнений вида \[y' = f\left( {x,y} \right),\] которые решаются методами, рассмотренными в других разделах.

Далее мы предполагаем, что дифференциальное уравнение не приводится к явной форме. Основной метод решения таких неявных уравнений − это метод введения параметра. Ниже мы покажем, как этот метод используется для нахождения общего решения для некоторых важных частных случаев уравнений, не разрешенных относительно производной.

Отметим, что общее решение может не покрывать все возможные решения дифференциального уравнения. Помимо общего решения, дифференциальное уравнение может также содержать так называемые особые решения. Более детально это рассматривается на странице Особые решения дифференциальных уравнений.
Случай \(1.\) Уравнение вида \(x = f\left( {y,y'} \right).\)
В этом случае переменная \(x\) выражается явно через переменную \(y\) и ее производную \(y'.\) Введем параметр \(p = y' = {\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize}.\) Продифференцируем уравнение \(x = f\left( {y,y'} \right)\) по переменной \(y.\) Получаем: \[\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{d}{{dy}}\left[ {f\left( {y,p} \right)} \right] = \frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dy}}.\] Поскольку \({\large\frac{{dx}}{{dy}}\normalsize} = {\large\frac{1}{p}\normalsize},\) то последнее выражение можно переписать в виде: \[\frac{1}{p} = \frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dy}}.\] Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого описывается функцией \[g\left( {y,p,C} \right) = 0,\] где \(C\) − произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} g\left( {y,p,C} \right) = 0\\ x = f\left( {y,p} \right) \end{array} \right..\] Если из этой системы исключить параметр \(p,\) то общее решение можно выразить в явном виде \(x = f\left( {y,C} \right).\)
Случай \(2.\) Уравнение вида \(y = f\left( {x,y'} \right).\)
Здесь мы встречаемся с похожим случаем, но теперь переменная \(y\) явно зависит от \(x\) и \(y'.\) Введем параметр \(p = y' = {\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize}\) и продифференцируем уравнение \(y = f\left( {x,y'} \right)\) по переменной \(x.\) В результате имеем: \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( {x,p} \right)} \right] = \frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dx}}}\;\; {\text{или}\;\;p = \frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial p}}\frac{{dp}}{{dx}}.} \] Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое уравнение \(g\left( {x,p,C} \right) = 0.\) Вместе с исходным уравнением оно образует следующую систему уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} g\left( {x,p,C} \right) = 0\\ y = f\left( {x,p} \right) \end{array} \right.,\] которая описывает общее решение заданного дифференциального уравнения в параметрической форме. В некоторых случаях, когда параметр \(p\) можно исключить из системы, общее решение записывается в явной форме \(y = f\left( {x,C} \right).\)
Case \(3.\) Уравнение вида \(x = f\left( {y'} \right).\)
В данном случае дифференциальное уравнение не содержит переменную \(y.\) Используя параметр \(p = y' = {\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize},\) легко построить общее решение уравнения. Так как \(dy = pdx\) и \[dx = d\left[ {f\left( p \right)} \right] = \frac{{df}}{{dp}}dp,\] то справедливо соотношение: \[dy = p\frac{{df}}{{dp}}dp.\] Интегрируя последнее уравнение, получаем общее решение в параметрической форме: \[\left\{ \begin{array}{l} y = \int {p\frac{{df}}{{dp}}dp} + C\\ x = f\left( p \right) \end{array} \right..\]
Случай \(4.\) Уравнение вида \(y = f\left( {y'} \right).\)
Уравнение такого типа не содержит переменную \(x\) и решается аналогичным образом. Используя параметр \(p = y' = {\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize},\) можно записать: \(dx = \large\frac{{dy}}{p}\normalsize.\) Отсюда следует, что \[dx = \frac{{dy}}{p} = \frac{1}{p}\frac{{df}}{{dp}}dp.\] Интегрируя последнее выражение, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме: \[\left\{ \begin{array}{l} x = \int {\frac{1}{p}\frac{{df}}{{dp}}dp} \\ y = f\left( p \right) \end{array} \right..\]
   Пример 1
Найти общее решение уравнения \(9{\left( {y'} \right)^2} - 4x = 0.\)

Решение.
Это уравнение относится к типу \(x = f\left( {y'} \right)\) (Случай \(3\)). Введем параметр \(p = y'\) и запишем уравнение в виде: \[x = \frac{9}{4}{p^2}.\] Возьмем дифференциалы обеих частей уравнения: \[dx = \frac{9}{4} \cdot 2pdp = \frac{9}{2}pdp.\] Поскольку \(dy = pdx,\) то последнее выражение можно представить как \[\frac{{dy}}{p} = \frac{9}{2}pdp,\;\; \Rightarrow dy = \frac{9}{2}{p^2}dp.\] Интегрируя, находим зависимость переменной \(y\) от параметра \(p:\) \[ {y = \int {\frac{9}{2}{p^2}dp} = \frac{9}{2}\int {{p^2}dp} } = {\frac{9}{2} \cdot \frac{{{p^3}}}{3} + C } = {\frac{3}{2}{p^3} + C,} \] где \(C\) − произвольная постоянная.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения в параметрической форме: \[\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{3}{2}{p^3} + C\\ x = \frac{9}{4}{p^2} \end{array} \right..\] Параметр \(p\) можно исключить из системы уравнений. Из второго уравнения находим: \[ {{p^2} = \frac{4}{9}x,}\;\; {\Rightarrow p = \pm \frac{2}{3}{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}.} \] После подстановки в первое уравнение получаем общее решение в виде явной функции \(y = f\left( x \right):\) \[ {y = \frac{3}{2}{\left( { \pm \frac{2}{3}{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^3} + C } = { \pm \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{{27}}{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} + C } = { \pm \frac{4}{9}{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} + C.} \]
   Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения \(y = \ln \left[ {25 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right].\)

Решение.
Это дифференциальное уравнение относится к случаю \(1,\) поскольку оно содержит переменную \(y\) и ее производную \(y'.\) Используя параметр \(p,\) мы можем переписать это уравнение в следующем виде: \[y = \ln \left( {25 + {p^2}} \right).\] Возьмем дифференциалы от обеих частей: \[dy = \frac{{2pdp}}{{25 + {p^2}}}.\] Поскольку \(dy = pdx,\) то получаем: \[pdx = \frac{{2pdp}}{{25 + {p^2}}},\;\; \Rightarrow dx = \frac{{2dp}}{{25 + {p^2}}}.\] Теперь можно проинтегрировать последнее выражение и найти \(x\) как функцию \(p.\) \[ {x = \int {\frac{{2dp}}{{25 + {p^2}}}} } = {2\int {\frac{{dp}}{{25 + {p^2}}}} } = {2 \cdot \frac{1}{5}\arctan \frac{p}{5} + C } = {\frac{2}{5}\arctan \frac{p}{5} + C.} \] В итоге мы получаем следующее параметрическое представление решения дифференциального уравнения: \[\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{5}\arctan \frac{p}{5} + C\\ y = \ln \left( {25 + {p^2}} \right) \end{array} \right.,\] где \(C\) − произвольная постоянная.

   Пример 3
Решить дифференциальное уравнение \(2y = 2{x^2} + 4xy' + {\left( {y'} \right)^2}.\)

Решение.
Данное уравнение соответствует частному случаю \(2.\) Пусть \(y' = p,\) так что уравнение можно переписать в виде: \[2y = 2{x^2} + 4xp + {p^2}.\] Найдем дифференциалы обеих частей уравнения, учитывая, что \(dy = pdx.\) В результате получаем: \[ {2dy = 4xdx + 4pdx + 4xdp + 2pdp,}\;\; {\Rightarrow dy = 2xdx + 2pdx + 2xdp + pdp,}\;\; {\Rightarrow \underline {pdx} = 2xdx + \underline {2pdx} + 2xdp + pdp,}\;\; {\Rightarrow 0 = 2xdx + pdx + 2xdp + pdp,}\;\; {\Rightarrow \left( {2x + p} \right)dx + \left( {2x + p} \right)dp = 0,}\;\; {\Rightarrow \left( {2x + p} \right)\left( {dx + dp} \right) = 0.} \] Последнему уравнению удовлетворяют два решения. Первое решение имеет вид: \[\left. 1 \right)\;\;2x + p = 0.\] Следовательно, \[ {2x + y' = 0,\;\; \Rightarrow y' = - 2x,}\;\; {\Rightarrow dy = - 2xdx.} \] Интегрируя это простое уравнение, получаем: \[{y_1} = - {x^2} + C,\] где \(C\) − произвольная постоянная. Чтобы определить значение \(C,\) подставим полученный ответ в исходное дифференциальное уравнение: \[ {{y_1} = - {x^2} + C,}\;\; {\Rightarrow {y_1}^\prime = - 2x,}\;\; {\Rightarrow 2\left( { - {x^2} + C} \right) = 2{x^2} + 4x \cdot \left( { - 2x} \right) + {\left( { - 2x} \right)^2},}\;\; {\Rightarrow - 2{x^2} + 2C = 2{x^2} - 8{x^2} + 4{x^2},}\;\; {\Rightarrow 2C = 0,}\;\; {\Rightarrow C = 0.} \] Видно, что постоянная \(C\) должна быть равна нулю, чтобы удовлетворить уравнению. Следовательно, первое решение выражается функцией \[{y_1} = - {x^2}.\] Теперь рассмотрим второе решение, которое определяется дифференциальным уравнением \[\left. 2 \right)\;\;dx + dp = 0.\] Тогда \[\int {dx} = - \int {dp} ,\;\; \Rightarrow x = - p + C.\] В начале решения мы записали дифференциальное уравнение в форме \[2y = 2{x^2} + 4xp + {p^2}.\] Подставляем известное выражение для \(x\) (как функцию параметра \(p\)), чтобы найти зависимость \(y\) от \(p:\) \[\require{cancel} {2y = 2{\left( { - p + C} \right)^2} + 4\left( { - p + C} \right)p + {p^2},}\;\; {\Rightarrow 2y = 2\left( {{p^2} - 2pC + {C^2}} \right) - 4{p^2} + 4pC + {p^2},}\;\; {\Rightarrow 2y = 2{p^2} - \cancel{4pC} + 2{C^2} - 3{p^2} + \cancel{4pC},}\;\; {\Rightarrow 2y = 2{C^2} - {p^2},}\;\; {\Rightarrow y = {C^2} - \frac{{{p^2}}}{2}.} \] Таким образом, второе решение описывается в параметрической форме следующей системой уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} x = - p + C\\ y = {C^2} - \frac{{{p^2}}}{2} \end{array} \right.,\] где \(C\) − произвольная постоянная. Исключая параметр \(p,\) можно получить решение в явной форме: \[ {p = C - x,}\;\; {\Rightarrow y = {C^2} - \frac{{{{\left( {C - x} \right)}^2}}}{2} } = {{C^2} - \frac{{{{\left( {x - C} \right)}^2}}}{2}.} \] Окончательный ответ выглядит так: \[y = {C^2} - \frac{{{{\left( {x - C} \right)}^2}}}{2},\;\;y = - {x^2}.\]

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.