Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Простейшие тригонометрические неравенства
Неизвестные переменные (величины углов): \(x\)
Множество целых чисел: \(\mathbb{Z}\)
Целые числа: \(n\)
Множество действительных чисел: \(\mathbb{R}\)
Действительные числа: \(a\)
Тригонометрические функции: \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\), \(\cot x\)
Обратные тригонометрические функции: \(\arcsin a\), \(\arccos a\), \(\arctan a\), \(\text {arccot } a\)
  1. Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

  2. К простейшим тригонометрически неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
    \(\sin x > a\), \(\sin x \ge a\), \(\sin x < a\), \(\sin x \le a\),
    \(\cos x > a\), \(\cos x \ge a\), \(\cos x < a\), \(\cos x \le a\),
    \(\tan x > a\), \(\tan x \ge a\), \(\tan x < a\), \(\tan x \le a\),
    \(\cot x > a\), \(\cot x \ge a\), \(\cot x < a\), \(\cot x \le a\).
    Здесь \(x\) является неизвестной переменной, \(a\) может быть любым действительным числом.

   Неравенства вида   \(\sin x > a\), \(\sin x \ge a\), \(\sin x < a\), \(\sin x \le a\)
решения простейших неравенств с функцией синус
Рис.1
Рис.2
   Неравенство \(\sin x > a\)
  1. При \(\left| a \right| \ge 1\) неравенство \(\sin x > a\) не имеет решений:
    \(x \in \emptyset\)

  2. При \(a \lt -1\) решением неравенства \(\sin x > a\) является любое действительное число:
    \(x \in \mathbb{R}\)

  3. При \(-1 \le a < 1\) решение неравенства \(\sin x > a\) выражается в виде
    \(\arcsin a + 2\pi n < x < \pi - \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.1).

   Неравенство \(\sin x \ge a\)
  1. При \(a > 1\) неравенство \(\sin x \ge a\) не имеет решений:
    \(x \in \emptyset\)

  2. При \(a \le -1\) решением неравенства \(\sin x \ge a\) является любое действительное число:
    \(x \in \mathbb{R}\)

  3. Случай \(a = 1\)
    \(x = \pi/2 +2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

  4. При \(-1 < a < 1\) решение нестрогого неравенства \(\sin x \ge a\) включает граничные углы и имеет вид
    \(\arcsin a + 2\pi n \le x \le \pi - \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.1).

   Неравенство \(\sin x < a\)
  1. При \(a > 1\) решением неравенства \(\sin x < a\) является любое действительное число:
    \(x \in \mathbb{R}\)

  2. При \(a \le -1\) у неравенства \(\sin x < a\) решений нет:
    \(x \in \emptyset\)

  3. При \(-1 < a \le 1\) решение неравенства \(\sin x < a\) лежит в интервале
    \(-\pi - \arcsin a + 2\pi n < x < \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.2).

   Неравенство \(\sin x \le a\)
  1. При \(a \ge 1\) решением неравенства \(\sin x \le a\) является любое действительное число:
    \(x \in \mathbb{R}\)

  2. При \(a < -1\) неравенство \(\sin x \le a\) решений не имеет:
    \(x \in \emptyset\)

  3. Случай \(a = -1\)
    \(x = -\pi/2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

  4. При \(-1 < a < 1\) решение нестрогого неравенства \(\sin x \le a\) находится в интервале
    \(-\pi - \arcsin a + 2\pi n \le x \le \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.2).

   Неравенства вида   \(\cos x > a\), \(\cos x \ge a\), \(\cos x < a\), \(\cos x \le a\)
решения простейших неравенств с функцией косинус
Рис.3
Рис.4
   Неравенство \(\cos x > a\)
  1. При \(a \ge 1\) неравенство \(\cos x > a\) не имеет решений:
    \(x \in \emptyset\)

  2. При \(a < -1\) решением неравенства \(\cos x > a\) является любое действительное число:
    \(x \in \mathbb{R}\)

  3. При \(-1 \le a < 1\) решение неравенства \(\cos x > a\) имеет вид
    \(-\arccos a + 2\pi n < x < \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.3).

   Неравенство \(\cos x \ge a\)
  1. При \(a > 1\) неравенство \(\cos x \ge a\) не имеет решений:
    \(x \in \emptyset\)

  2. При \(a \le -1\) решением неравенства \(\cos x \ge a\) является любое действительное число:
    \(x \in \mathbb{R}\)

  3. Случай \(a = 1\)
    \(x = 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

  4. При \(-1 < a < 1\) решение нестрогого неравенства \(\cos x \ge a\) выражается формулой
    \(-\arccos a + 2\pi n \le x \le \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.3).

   Неравенство \(\cos x < a\)
  1. При \(a > 1\) неравенство \(\cos x < a\) справедливо при любом действительном значении \(x\):
    \(x \in \mathbb{R}\)

  2. При \(a \le -1\) неравенство \(\cos x < a\) не имеет решений:
    \(x \in \emptyset\)

  3. При \(-1 < a \le 1\) решение неравенства \(\cos x < a\) записывается в виде
    \(\arccos a + 2\pi n < x < 2\pi - \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.4).

   Неравенство \(\cos x \le a\)
  1. При \(a \ge 1\) решением неравенства \(\cos x \le a\) является любое действительное число:
    \(x \in \mathbb{R}\)

  2. При \(a < -1\) неравенство \(\cos x \le a\) не имеет решений:
    \(x \in \emptyset\)

  3. Случай \(a = -1\)
    \(x = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

  4. При \(-1 < a < 1\) решение нестрогого неравенства \(\cos x \le a\) записывается как
    \(\arccos a + 2\pi n \le x \le 2\pi - \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.4).

   Неравенства вида   \(\tan x > a\), \(\tan x \ge a\), \(\tan x < a\), \(\tan x \le a\)
решения простейших неравенств с функцией тангенс
Рис.5
Рис.6
   Неравенство \(\tan x > a\)
  1. При любом действительном значении \(a\) решение строгого неравенства \(\tan x > a\) имеет вид
    \(\arctan a + \pi n < x < \pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.5).

   Неравенство \(\tan x \ge a\)
  1. Для любого значения \(a\) решение неравенства \(\tan x \ge a\) выражается в виде
    \(\arctan a + \pi n \le x < \pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.5).

   Неравенство \(\tan x < a\)
  1. Для любого значения \(a\) решение неравенства \(\tan x < a\) записывается в виде
    \(-\pi/2 + \pi n < x < \arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.6).

   Неравенство \(\tan x \le a\)
  1. При любом \(a\) неравенство \(\tan x \le a\) имеет следующее решение:
    \(-\pi/2 + \pi n < x \le \arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.6).

   Неравенства вида  \(\cot x > a\), \(\cot x \ge a\), \(\cot x < a\), \(\cot x \le a\)
решения простейших неравенств с функцией котангенс
Рис.7
Рис.8
   Неравенство \(\cot x > a\)
  1. При любом \(a\) решение неравенства \(\cot x > a\) имеет вид
    \(\pi n < x < \text {arccot } a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.7).

   Неравенство \(\cot x \ge a\)
  1. Нестрогое неравенство \(\cot x \ge a\) имеет аналогичное решение
    \(\pi n < x \le \text {arccot } a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.7).

   Неравенство \(\cot x < a\)
  1. Для любого значения \(a\) решение неравенства \(\cot x < a\) лежит в открытом интервале
    \(\text {arccot } a + \pi n < x < \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.8).

   Неравенство \(\cot x \le a\)
  1. При любом \(a\) решение нестрогого неравенства \(\cot x \le a\) находится в полуоткрытом интервале
    \(\text {arccot } a + \pi n \le x < \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.8).



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.