Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

К простейшим тригонометрически неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
\(\sin x > a\), \(\sin x \ge a\), \(\sin x < a\), \(\sin x \le a\),
\(\cos x > a\), \(\cos x \ge a\), \(\cos x < a\), \(\cos x \le a\),
\(\tan x > a\), \(\tan x \ge a\), \(\tan x < a\), \(\tan x \le a\),
\(\cot x > a\), \(\cot x \ge a\), \(\cot x < a\), \(\cot x \le a\).
Здесь \(x\) является неизвестной переменной, \(a\) может быть любым действительным числом.

При \(\left| a \right| \ge 1\) неравенство \(\sin x > a\) не имеет решений:
\(x \in \emptyset\)

При \(a \lt -1\) решением неравенства \(\sin x > a\) является любое действительное число:
\(x \in \mathbb{R}\)

При \(-1 \le a < 1\) решение неравенства \(\sin x > a\) выражается в виде
\(\arcsin a + 2\pi n < x < \pi - \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.1).

При \(a > 1\) неравенство \(\sin x \ge a\) не имеет решений:
\(x \in \emptyset\)

При \(a \le -1\) решением неравенства \(\sin x \ge a\) является любое действительное число:
\(x \in \mathbb{R}\)

Случай \(a = 1\)
\(x = \pi/2 +2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

При \(-1 < a < 1\) решение нестрогого неравенства \(\sin x \ge a\) включает граничные углы и имеет вид
\(\arcsin a + 2\pi n \le x \le \pi - \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.1).

При \(a > 1\) решением неравенства \(\sin x < a\) является любое действительное число:
\(x \in \mathbb{R}\)

При \(a \le -1\) у неравенства \(\sin x < a\) решений нет:
\(x \in \emptyset\)

При \(-1 < a \le 1\) решение неравенства \(\sin x < a\) лежит в интервале
\(-\pi - \arcsin a + 2\pi n < x < \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.2).

При \(a \ge 1\) решением неравенства \(\sin x \le a\) является любое действительное число:
\(x \in \mathbb{R}\)

При \(a < -1\) неравенство \(\sin x \le a\) решений не имеет:
\(x \in \emptyset\)

Случай \(a = -1\)
\(x = -\pi/2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

При \(-1 < a < 1\) решение нестрогого неравенства \(\sin x \le a\) находится в интервале
\(-\pi - \arcsin a + 2\pi n \le x \le \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.2).

При \(a \ge 1\) неравенство \(\cos x > a\) не имеет решений:
\(x \in \emptyset\)

При \(a < -1\) решением неравенства \(\cos x > a\) является любое действительное число:
\(x \in \mathbb{R}\)

При \(-1 \le a < 1\) решение неравенства \(\cos x > a\) имеет вид
\(-\arccos a + 2\pi n < x < \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.3).

При \(a > 1\) неравенство \(\cos x \ge a\) не имеет решений:
\(x \in \emptyset\)

При \(a \le -1\) решением неравенства \(\cos x \ge a\) является любое действительное число:
\(x \in \mathbb{R}\)

Случай \(a = 1\)
\(x = 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

При \(-1 < a < 1\) решение нестрогого неравенства \(\cos x \ge a\) выражается формулой
\(-\arccos a + 2\pi n \le x \le \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.3).

При \(a > 1\) неравенство \(\cos x < a\) справедливо при любом действительном значении \(x\):
\(x \in \mathbb{R}\)

При \(a \le -1\) неравенство \(\cos x < a\) не имеет решений:
\(x \in \emptyset\)

При \(-1 < a \le 1\) решение неравенства \(\cos x < a\) записывается в виде
\(\arccos a + 2\pi n < x < 2\pi - \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.4).

При \(a \ge 1\) решением неравенства \(\cos x \le a\) является любое действительное число:
\(x \in \mathbb{R}\)

При \(a < -1\) неравенство \(\cos x \le a\) не имеет решений:
\(x \in \emptyset\)

Случай \(a = -1\)
\(x = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)

При \(-1 < a < 1\) решение нестрогого неравенства \(\cos x \le a\) записывается как
\(\arccos a + 2\pi n \le x \le 2\pi - \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.4).

При любом действительном значении \(a\) решение строгого неравенства \(\tan x > a\) имеет вид
\(\arctan a + \pi n < x < \pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.5).

Для любого значения \(a\) решение неравенства \(\tan x \ge a\) выражается в виде
\(\arctan a + \pi n \le x < \pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.5).

Для любого значения \(a\) решение неравенства \(\tan x < a\) записывается в виде
\(-\pi/2 + \pi n < x < \arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.6).

При любом \(a\) неравенство \(\tan x \le a\) имеет следующее решение:
\(-\pi/2 + \pi n < x \le \arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.6).

При любом \(a\) решение неравенства \(\cot x > a\) имеет вид
\(\pi n < x < \text {arccot } a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.7).

Нестрогое неравенство \(\cot x \ge a\) имеет аналогичное решение
\(\pi n < x \le \text {arccot } a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.7).

Для любого значения \(a\) решение неравенства \(\cot x < a\) лежит в открытом интервале
\(\text {arccot } a + \pi n < x < \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.8).

При любом \(a\) решение нестрогого неравенства \(\cot x \le a\) находится в полуоткрытом интервале
\(\text {arccot } a + \pi n \le x < \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}\)  (рис.8).