Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Скалярное произведение векторов
Векторы: \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\)
Модуль вектора: \(\left| \mathbf{u} \right|\), \(\left| \mathbf{v} \right|\)
Нулевой вектор: \(\mathbf{0}\)
Единичные векторы: \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\)
Угол между векторами: \(\theta\)
Координаты векторов: \({X_1}\), \({Y_1}\), \({Z_1}\), \({X_2}\), \({Y_2}\), \({Z_2}\)
Действительные числа: \(\lambda\), \(\mu\)
  1. Скалярным произведением векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
    \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \left| \mathbf{u} \right|\left| \mathbf{v} \right|\cos \theta \)

    скалярное произведение векторов

  2. Скалярное произведение в координатной форме
    Если  \(\mathbf{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\mathbf{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), то
    \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = {X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2} + {Z_1}{Z_2}\).

  3. Угол между двумя векторами
    Если  \(\mathbf{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\mathbf{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), то
    \(\cos \theta = \large\frac{{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}}{{\left| \mathbf{u} \right| \cdot \left| \mathbf{v} \right|}}\normalsize = \large\frac{{{X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2} + {Z_1}{Z_2}}}{{\sqrt {X_1^2 + Y_1^2 + Z_1^2} \sqrt {X_2^2 + Y_2^2 + Z_2^2} }}\normalsize.\)
    Здесь предполагается, что векторы \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) являются ненулевыми.

  4. Коммутативность скалярного произведения  
    \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}\)

  5. Ассоциативность скалярного произведения  
    \(\left( {\lambda \mathbf{u}} \right) \cdot \left( {\mu \mathbf{v}} \right) = \lambda \mu \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)

  6. Дистрибутивность скалярного произведения  
    \(\mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} + \mathbf{w}} \right) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}\)

  7. Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) равно нулю, если векторы \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) перпендикулярны, или если вектор \(\mathbf{u}\) или \(\mathbf{v}\) или оба вектора являются нулевыми.
    \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\),  если  \(\mathbf{u} \bot \mathbf{v}\left( {\theta = \large\frac{\pi }{2}}\normalsize \right)\),  или  \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\)  и/или  \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\).

  8. Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) положительно, если угол \(\theta\) между векторами \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) острый.
    \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} > 0\),  если  \(0 < \theta < \large\frac{\pi }{2}\normalsize\).

  9. Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) отрицательно, если угол \(\theta\) между векторами \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) тупой.
    \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} < 0\),  если  \(\large\frac{\pi }{2}\normalsize < \theta < \pi\).

  10. Скалярное произведение векторов меньше или равно произведению их модулей:
    \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \le \left| \mathbf{u} \right| \cdot \left| \mathbf{v} \right|\)

  11. Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) равно произведения их модулей, если только векторы \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) параллельны:
    \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \left| \mathbf{u} \right| \cdot \left| \mathbf{v} \right|\),  если  \(\mathbf{u}\parallel \mathbf{v}\left( {\theta = 0} \right)\).

  12. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
    Если  \(\mathbf{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\),  то  \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = {{\mathbf{u}}^2} = {\left| \mathbf{u} \right|^2} = X_1^2 + Y_1^2 + Z_1^2.\)

  13. Скалярные квадраты единичных координатных векторов  
    \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1\)

  14. Скалярное произведение несовпадающих единичных векторов  
    \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.