Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Системы линейных уравнений
Матрицы и векторы: \(A\), \(B\), \(X\)
Коэффициенты уравнений: \({a_{ij}}\), \({a_i}\), \({b_i}\), \({c_i}\), \({d_i}\)
Обратная матрица: \(A^{-1}\)
Определители: \(D\), \({D_x}\), \({D_y}\), \({D_z}\)
Неизвестные переменные: \(x\), \(y\), \(z\), \({x_1}\), \({x_2}\), \(\ldots\)
Натуральные числа: \(n\), \(i\), \(j\)
  1. Решение системы уравнений \(2\)-го порядка методом Крамера
    Пусть дана система \(2\)-х уравнений с \(2\)-мя неизвестными:
    \( \left\{ \begin{aligned} {a_1}x + {b_1}y &= {d_1} \\ {a_2}x + {b_2}y &= {d_2} \end{aligned} \right. \).

    Решение данной системы выражается формулами
    \(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize\)  (формулы Крамера),
    где определители \(D\), \({D_x}\), \({D_y}\) равны
    \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1},\)   \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}&{{b_1}}\\ {{d_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = {d_1}{b_2} - {d_2}{b_1},\)   \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{d_1}}\\ {{a_2}}&{{d_2}} \end{array}} \right| = {a_1}{d_2} - {a_2}{d_1}.\)

  2. Различные случаи решений системы уравнений \(2\)-го порядка
      Если \(D \ne 0\), то система совместна и имеет единственное решение \(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize ;\)
      Если \(D = 0\) и \({D_x} \ne 0\) (или \({D_y} \ne 0\)), то система несовместна (не имеет решений);
      Если \(D = {D_x} = {D_y} = 0\), то система совместна и имеет бесконечное множество решений.

  3. Решение системы уравнений \(3\)-го порядка методом Крамера
    Рассмотрим систему \(3\)-х уравнений с \(3\)-мя неизвестными:
    \( \left\{ \begin{aligned} {a_1}x + {b_1}y + {c_1}z &= {d_1} \\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z &= {d_2} \\ {a_3}x + {b_3}y + {c_3}z &= {d_3} \end{aligned} \right. \).

    Решение данной системы определяется формулами Крамера:
    \(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize,\;\;z = \large\frac{{{D_z}}}{D}\normalsize,\)
    где определители \(D\), \({D_x}\), \({D_y}\), \({D_z}\) равны

    \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|,\)   \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{d_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{d_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|,\)   \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{d_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{d_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{d_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|,\)   \({D_z} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{d_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{d_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{d_3}} \end{array}} \right|.\)

  4. Различные случаи решений системы уравнений \(3\)-го порядка
      Если \(D \ne 0\), то система совместна и имеет единственное решение \(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize\;\;z = \large\frac{{{D_z}}}{D}\normalsize ;\)
      Если \(D = 0\) и \({D_x} \ne 0\) (или \({D_y} \ne 0\) или \({D_z} \ne 0\)), то система несовместна (не имеет решений);
      Если \(D = {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0\), то система совместна и имеет бесконечное множество решений.

  5. Матричная форма записи системы \(n\) уравнений c \(n\) неизвестными
    Систему линейных уравнений \(n\)-го порядка

    \( \left\{ \begin{aligned} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \ldots + {a_{1n}}{x_n} &= {b_1} \\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \ldots + {a_{2n}}{x_n} &= {b_2} \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + \ldots + {a_{nn}}{x_n} &= {b_n} \end{aligned} \right. \).

    можно записать в матричной форме:

    \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ \vdots \\ {{b_n}} \end{array}} \right),\)

    или в более компактном виде:
    \(AX = B\),
    где используются обозначения:

    \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right),\;\;X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right),\;\;B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ \vdots \\ {{b_n}} \end{array}} \right).\)

  6. Решение системы n линейных уравнений c \(n\) неизвестными имеет вид
    \(X = A^{-1}B\),
    где \(A^{-1}\) − обратная матрица.



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.