Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Свойства несобственного интеграла
Подынтегральные функции: \(f\), \(g\)
Аргумент (независимая переменная): \(x\)
Пределы интегрирования: \(a\), \(b\), \(c\), \(n\)
Малые действительные числа: \(\tau\), \(\varepsilon\)
  1. Определенный интеграл \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) называется несобственным интегралом,
           если нижний предел интегрирования \(a\) или верхний предел \(b\) (или оба предела) являются бесконечными,
           или если функция \(f\left( x \right)\) имеет точки разрыва на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\).

    Таким образом, несобственный интеграл − это интеграл по неограниченному множеству или от неограниченной функции.

  2. Если \(f\left( x \right)\) − непрерывная функция на интервале \(\left[ {a,\infty} \right)\), то несобственный интеграл выражается через предел в виде
    \(\large\int\limits_a^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} = \lim\limits_{n \to \infty } \large\int\limits_a^n\normalsize {f\left( x \right)dx} \)

    несобственный интеграл с верхним пределом, стремящимся к бесконечности

  3. Если \(f\left( x \right)\) − непрерывная функция на интервале \(\left[ {a,\infty} \right)\), то несобственный интеграл определяется формулой
    \(\large\int\limits_{-\infty}^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \lim\limits_{n \to -\infty } \large\int\limits_n^b\normalsize {f\left( x \right)dx} \)

    несобственный интеграл с нижним пределом, стремящимся к минус бесконечности

    Примечание: несобственные интегралы в формулах \(2\),\(3\) являются сходящимися, если верхний или нижний предел существуют и конечны. В противном случае несобственные интегралы являются расходящимися.

  4. Несобственный интеграл с бесконечным нижним и верхним пределом.
    \(\large\int\limits_{ - \infty }^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} = \large\int\limits_{ - \infty }^c\normalsize {f\left( x \right)dx} + \large\int\limits_c^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} \)

    несобственный интеграл на неограниченном интервале

    Если для некоторого действительного числа \(c\) оба интеграла в правой части сходятся, то несобственный интеграл \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)dx}\) также сходится. В противном случаем он расходится.

  5. Теоремы сравнения
    Пусть \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) − непрерывные функции на интервале \(\left[ {a,\infty} \right)\). Предположим, что \(0 \le g\left( x \right) \le f\left( x \right)\) для всех \(x\) на интервале \(\left[ {a,\infty} \right)\). Тогда справедливы следующие теоремы сравнения для несобственных интегралов от функций \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\):
           Если \(\int\limits_a^\infty {f\left( x \right)dx}\) сходится, то \(\int\limits_a^\infty {g\left( x \right)dx}\) также сходится.
           Если \(\int\limits_a^\infty {g\left( x \right)dx}\) расходится, то \(\int\limits_a^\infty {f\left( x \right)dx}\) также расходится.

  6. Абсолютная сходимость
    Если \(\int\limits_a^\infty {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) сходится, то несобственный интеграл \(\int\limits_a^\infty {f\left( x \right)dx} \) является абсолютно сходящимся.

  7. Интеграл от разрывной функции (точка разрыва на границе интервала)
    Пусть функция \(f\left( x \right)\) является непрерывной всюду на интервале \(\left[ {a,b} \right)\), а в точке \(x = b\) терпит разрыв. Тогда справедлива следующая предельная формула:
    \(\large\int\limits_a^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} = \lim\limits_{\tau \to 0 + } \large\int\limits_a^{b - \tau }\normalsize {f\left( x \right)dx} \)

    несобственный интеграл от функции, имеющей разрыв на границе интервала

  8. Интеграл от разрывной функции (точка разрыва внутри интервала)
    Пусть \(f\left( x \right)\) является непрерывной функцией для всех действительных чисел \(x\) в замкнутом интервале \(\left[ {a,b} \right]\), исключая некоторую внутреннюю точку \(c \in \left( {a,b} \right)\). Тогда
    \(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \lim\limits_{\tau \to 0 + } \large\int\limits_a^{c - \tau }\normalsize {f\left( x \right)dx} + \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + } \large\int\limits_{c + \varepsilon}^b\normalsize {f\left( x \right)dx}\)

    несобственный интеграл от функции, имеющей разрыв внутри интервала интегрирования



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.