Определение матрицы
Матрицей размером \(m \times n\) называется прямоугольная таблица элементов \({a_{ij}}\), принадлежащих некоторому множеству (как правило, это числа или функции), состоящая из \(m\) строк и \(n\) столбцов.

\(A = \left( {{a_{ij}}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & \ldots & {{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & \ldots & {{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & \ldots & {{a_{mn}}} \end{array}} \right)\)

Квадратная матрица \(n\)-го порядка имеет \(n\) строк и \(n\) столбцов.

Квадратная матрица \(\left( {{a_{ij}}} \right)\) называется симметричной (или симметрической), если \({{a_{ij}}} = {{a_{ji}}}\), т.е. элементы матрицы расположены симметрично относительно главной диагонали.

Квадратная матрица \(\left( {{a_{ij}}} \right)\) называется кососимметричной (или антисимметричной), если \({{a_{ij}}} = -{{a_{ji}}}\).

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы вне главной диагонали равны нулю.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы на ее главной диагонали равны \(1\). (Все остальные элементы при этом равны \(0\).)

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой матрицей.

Равенство матриц
Две матрицы \(A\) и \(B\) равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер \(m \times n\) и их соответствующие элементы равны.

Сложение и вычитание матриц
Две матрицы \(A\) и \(B\) можно складывать (или вычитать) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер \(m \times n\). Если

\(A = \left( {{a_{ij}}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & \ldots & {{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & \ldots & {{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & \ldots & {{a_{mn}}} \end{array}} \right)\),   \(B = \left( {{b_{ij}}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}} & {{b_{12}}} & \ldots & {{b_{1n}}}\\ {{b_{21}}} & {{b_{22}}} & \ldots & {{b_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{b_{m1}}} & {{b_{m2}}} & \ldots & {{b_{mn}}} \end{array}} \right),\)

то сумма этих матриц равна

\(A + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} + {b_{11}}}&{{a_{12}} + {b_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}} + {b_{1n}}}\\ {{a_{21}} + {b_{21}}}&{{a_{22}} + {b_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}} + {b_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{m1}} + {b_{m1}}}&{{a_{m2}} + {b_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}} + {b_{mn}}} \end{array}} \right).\)

Умножение матрицы на число
Пусть даны постоянное число \(k\) и матрица \(A = \left( {{a_{ij}}} \right)\). Тогда

\(kA = \left( {{ka_{ij}}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{ka_{11}}} & {{ka_{12}}} & \ldots & {{ka_{1n}}}\\ {{ka_{21}}} & {{ka_{22}}} & \ldots & {{ka_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{ka_{m1}}} & {{ka_{m2}}} & \ldots & {{ka_{mn}}} \end{array}} \right).\)

Умножение матриц
Пусть даны две матрицы \(A\) и \(B\). Произведение матриц \(AB\) существует тогда и только тогда, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй. Если

\(A = \left( {{a_{ij}}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & \ldots & {{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & \ldots & {{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & \ldots & {{a_{mn}}} \end{array}} \right)\),   \(B = \left( {{b_{ij}}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}} & {{b_{12}}} & \ldots & {{b_{1k}}}\\ {{b_{21}}} & {{b_{22}}} & \ldots & {{b_{2k}}}\\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{b_{n1}}} & {{b_{n2}}} & \ldots & {{b_{nk}}} \end{array}} \right),\)

то произведение \(AB\) представляется в виде матрицы

\(AB = C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{11}}} & {{c_{12}}} & \ldots & {{c_{1k}}}\\ {{c_{21}}} & {{c_{22}}} & \ldots & {{c_{2k}}}\\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{c_{m1}}} & {{c_{m2}}} & \ldots & {{c_{mk}}} \end{array}} \right)\),  

где элементы матрицы C равны
\({c_{ij}} = {a_{i1}}{b_{1j}} + {a_{i2}}{b_{2j}} + \ldots + {a_{in}}{b_{nj}} = \sum\limits_{\lambda = 1}^n {{a_{i\lambda }}{b_{\lambda j}}} \),   \(\left( {i = 1,2, \ldots ,m,\;j = 1,2, \ldots ,k} \right)\)
Так, например, если
\(A = \left( {{a_{ij}}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{31}}} \end{array}} \right),\;\;B = \left( {{b_i}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ {{b_3}} \end{array}} \right),\)
то произведение \(AB\) равно
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{31}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ {{b_3}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{11}}}\\ {{c_{21}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}{b_1} + {a_{12}}{b_2} + {a_{13}}{b_3}}\\ {{a_{21}}{b_1} + {a_{22}}{b_2} + {a_{23}}{b_3}} \end{array}} \right).\)

Транспонированная матрица
Если строки и столбцы в матрице \(A\) поменять местами, то новая матрица будет называться транспонированной. Транспонированная матрица обозначается как \(A^T\).

Матрица A называется ортогональной, если
\(A{A^T} = I\),
где \(I\) − единичная матрица.

Если произведение матриц \(AB\) определено, то
\({\left( {AB} \right)^T} = {B^T}{A^T}\).

Присоединенная матрица
Если \(A\) является квадратной матрицей порядка \(n\), то соответствующая ей присоединенная матрица, обозначаемая как \(C^*\), представляет собой матрицу, составленную из алгебраических дополнений \({A_{ij}}\) к элементам транспонированной матрицы \(A^T\).

След матрицы
Если \(A\) − квадратная матрица порядка \(n\), то ее след, обозначаемый как \(\text{tr }A\), равен сумме элементов, расположенных на главной диагонали:
\(\text{tr }A = {a_{11}} + {a_{22}} + {a_{33}} + \ldots + {a_{nn}}.\)

Обратная матрица
Обратная матрица определяется как матрица \(A^{-1}\), такая, что в результате умножения исходной матрицы \(A\) на \(A^{-1}\) получается единичная матрица \(I\):
\(A{A^{ - 1}} = I\).
Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц (определитель которых не равен нулю). Если \(A\) − квадратная невырожденная матрица порядка \(n\), то обратная матрица \(A^{-1}\) находится по формуле:
\({A^{ - 1}} = \large\frac{{{C^*}}}{{\det A}}\normalsize\),
где \(C^*\) − присоединенная матрица, а \(\det A\) − определитель матрицы \(A\).

Если произведение матриц \(AB\) определено, то
\({\left( {AB} \right)^{ - 1}} = {B^{ - 1}}{A^{ - 1}}\).

Собственные векторы и собственные значения матрицы
Если \(A\) является квадратной матрицей, то ее собственные векторы \(X\) удовлетворяют матричному уравнению
\(AX = \lambda X\),
а собственные значения \(\lambda\) определяются характеристическим уравнением
\(\left| {A - \lambda I} \right| = 0\).