Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Свойства и приложения тройного интеграла
Функции трех переменных: \(f\left( {x,y,z} \right)\), \(g\left( {x,y,z} \right)\), \(f\left( {u,v,w} \right)\)
Независимые переменные: \(x\), \(y\), \(z\), \(u\), \(v\), \(w\)
Малые приращения: \(\Delta {x_i}\), \(\Delta {y_j}\), \(\Delta {z_k}\)
Пределы интегрирования: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(r\), \(s\)
Области интегрирования: \(G\), \(T\), \(S\)
Цилиндрические координаты: \(r\), \(\theta\), \(z\)
Сферические координаты: \(r\), \(\theta\), \(\varphi\)
Объем тела: \(V\)
Масса тела: \(m\)
Плотность тела: \(\mu \left( {x,y,z} \right)\)
Координаты центра масс: \({x_c}\), \({y_c}\), \({z_c}\)
Первые моменты: \({M_{xy}}\), \({M_{yz}}\), \({M_{xz}}\)
Моменты инерции: \({I_{xy}}\), \({I_{yz}}\), \({I_{xz}}\), \({I_x}\), \({I_y}\), \({I_z}\), \({I_0}\)
  1. Тройной интеграл от функции \(f\left( {x,y,z} \right)\) в параллелепипеде \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {r,s} \right]\) определяется как предел интегральной суммы (суммы Римана):
    \(\require{AMSmath.js}\large\iiint\limits_{\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {r,s} \right]}\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} = \lim\limits_{\substack{ \text{max}\,\Delta {x_i} \to 0\\ \text{max}\,\Delta {y_j} \to 0\\ \text{max}\,\Delta {z_k} \to 0}} \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^p {f\left( {{u_i},{v_j},{w_k}} \right)\Delta {x_i}\Delta {y_j}\Delta {z_k}} } } \),
    где \({\left( {{u_i},{v_j},{w_k}} \right)}\) − некоторая точка в параллелепипеде \(\left( {{x_{i - 1}},{x_i}} \right) \times \left( {{y_{j - 1}},{y_j}} \right) \times \left( {{z_{k - 1}},{z_k}} \right)\), а соответствующие приращения переменных равны \(\Delta {x_i} = {x_i} - {x_{i - 1}}\), \(\Delta {y_j} = {y_j} - {y_{j - 1}}\), \(\Delta {z_k} = {z_k} - {z_{k - 1}}\).

  2. Тройной интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {\left[ {f\left( {x,y,z} \right) + g\left( {x,y,z} \right)} \right]dV} = \large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} + \large\iiint\limits_G\normalsize {g\left( {x,y,z} \right)dV} \)

  3. Тройной интеграл от разности функций равен разности интегралов от соответствующих функций:
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {\left[ {f\left( {x,y,z} \right) - g\left( {x,y,z} \right)} \right]dV} = \large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} - \large\iiint\limits_G\normalsize {g\left( {x,y,z} \right)dV} \)

  4. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла:
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {kf\left( {x,y,z} \right)dV} = k\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} \)

  5. Если \({f\left( {x,y,z} \right)} \ge 0\), а \(G\) и \(T\) являются непересекающимися областями, то
    \(\large\iiint\limits_{G \cup T}\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} = \large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} + \large\iiint\limits_T\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dV} \)
    Здесь \(G \cup T\) обозначает объединение областей интегрирования \(G\) и \(T\).

  6. Выражение тройного интеграла через двойной интеграл
    Если область интегрирования \(G\) состоит из множества точек \({\left( {x,y,z} \right)}\), удовлетворяющих условию
    \(\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R},\;\;{\lambda _1}\left( {x,y} \right) \le z \le {\lambda _2}\left( {x,y} \right)\),
    то тройной интеграл выражается в виде
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\iint\limits_R\normalsize {\left[ {\large\int\limits_{{\lambda _1}\left( {x,y} \right)}^{{\lambda _2}\left( {x,y} \right)}\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dz} } \right]dxdy} ,\)
    где \(R\) − проекция области \(G\) на плоскость \(Oxy\).

  7. Выражение тройного интеграла через повторный интеграл
    Если область интегрирования \(G\) состоит из множества точек \({\left( {x,y,z} \right)}\), таких что
    \(a \le x \le b,\;\;{\varphi _1}\left( x \right) \le y \le {\varphi _2}\left( x \right),\;\;{\lambda _1}\left( {x,y} \right) \le z \le {\lambda _2}\left( {x,y} \right),\)
    то тройной интеграл равен
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\int\limits_a^b\normalsize {\left[ {\large\int\limits_{{\varphi _1}\left( x \right)}^{{\varphi _2}\left( x \right)}\normalsize {\left( {{\large\int\limits_{{\lambda _1}\left( {x,y} \right)}^{{\lambda _2}\normalsize}\left( {x,y} \right)} {f\left( {x,y,z} \right)dz} } \right)dy} } \right]dx} \)

  8. Тройной интеграл в параллелепипеде  
    Если \(G\) является параллелепипедом \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] \times \left[ {r,s} \right]\), то
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\int\limits_a^b\normalsize {\left[ {\large\int\limits_c^d\normalsize {\left( {\large\int\limits_r^s\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dz} } \right)dy} } \right]dx} \)

    В частном случае, когда подынтегральная функция \({f\left( {x,y,z} \right)}\) представляет собой произведение \(g\left( x \right)h\left( y \right)k\left( z \right)\), тройной интеграл записывается в виде
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \left( {\large\int\limits_a^b\normalsize {g\left( x \right)dx} } \right)\left( {\large\int\limits_c^d\normalsize {h\left( y \right)dy} } \right)\left( {\large\int\limits_r^s\normalsize {k\left( z \right)dz} } \right)\)

  9. Замена переменных
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\iiint\limits_S\normalsize {f\left[ {x\left( {u,v,w} \right),y\left( {u,v,w} \right),z\left( {u,v,w} \right)} \right]\left|\large\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}\normalsize\right| dxdydz}, \)
    где \(\left| {\large\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}}\normalsize \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\large\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial x}}{{\partial v}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial x}}{{\partial w}}\normalsize}\\ {\large\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial y}}{{\partial v}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial y}}{{\partial w}}\normalsize}\\ {\large\frac{{\partial z}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial z}}{{\partial v}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial z}}{{\partial w}}\normalsize} \end{array}} \right| \ne 0\) − якобиан преобразования \(\left( {x,y,z} \right) \to \left( {u,v,w} \right)\), а \(S\) является образом области интегрирования \(G\) и вычисляется подстановкой \(x = x\left( {u,v,w} \right)\), \(y = y\left( {u,v,w} \right)\), \(z = z\left( {u,v,w} \right)\) в определение \(G\).

  10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
    Дифференциал \(dxdydz\) в цилиндрических координатах определяется выражением
    \(dxdydz = \left|\large\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta ,z} \right)}}\normalsize\right| drd\theta dz = rdrd\theta dz\)

    Пусть область интегрирования \(G\) задана неравенствами
    \(\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R},\;\;{\lambda _1}\left( {x,y} \right) \le z \le {\lambda _2}\left( {x,y} \right)\),
    где \(R\) является проекцией области \(G\) на плоскость \(Oxy\). Тогда
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\iiint\limits_S\normalsize {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta ,z} \right)rdrd\theta dz} = \large\iint\limits_{R\left( {r,\theta } \right)}\normalsize {\left[ {\large\int\limits_{{\lambda _1}\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)}^{{\lambda _2}\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)}\normalsize {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta ,z} \right)dz} } \right]rdrd\theta } \)
    Здесь \(S\) представляет собой образ области \(G\) в цилиндрических координатах.

  11. Тройной интеграл в сферических координатах
    Дифференциал \(dxdydz\) в сферических координатах выражается формулой
    \(dxdydz = \left| {\large\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta ,\varphi } \right)}}}\normalsize \right|drd\theta d\varphi = {r^2}\sin \theta drd\theta d\varphi \)

    В сферических координатах тройной интеграл записывается как
    \(\large\iiint\limits_G\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} = \large\iiint\limits_S\normalsize {f\left( {r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta } \right){r^2}\sin \theta drd\theta d\varphi },\)
    где \(S\) является образом области \(G\) в сферических координатах. Угол \(\theta\) изменяется от \(0\) до \(2\pi\), а угол \(\varphi\) − в пределах от \(0\) до \(\pi\).

    сферическая система координат

  12. Объем тела  
    \(V = \large\iiint\limits_G\normalsize {dxdydz} \)

  13. Объем тела в цилиндрических координатах  
    \(V = \large\iiint\limits_{S\left( {r,\theta ,z} \right)}\normalsize {rdrd\theta dz} \)

  14. Объем тела в сферических координатах  
    \(V = \large\iiint\limits_{S\left( {r,\theta ,\varphi } \right)}\normalsize {{r^2}\sin \theta drd\theta d\varphi } \)

  15. Масса тела
    \(m = \large\iiint\limits_G\normalsize {\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \),
    где тело занимает область \(G\), а его плотность в точке \({\left( {x,y,z} \right)}\) равна \({\mu \left( {x,y,z} \right)}\).

  16. Координаты центра масс тела
    \({x_C} = \large\frac{{{M_{yz}}}}{m}\normalsize\), \({y_C} = \large\frac{{{M_{xz}}}}{m}\normalsize\), \({z_C} = \large\frac{{{M_{xy}}}}{m}\normalsize\),  где
    \({M_{yz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {x\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({M_{xz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {y\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({M_{xy}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {z\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \)
    первые моменты относительно координатных плоскостей \(x = 0\), \(y = 0\) и \(z = 0\), а функция \({\mu \left( {x,y,z} \right)}\) описывает плотность тела.

  17. Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей \(Oxy\) (или \(z = 0\)), \(Oyz\) (\(x = 0\)), \(Oxz\) (\(y = 0\))  
    \({I_{xy}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {{z^2}\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({I_{yz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {{x^2}\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \), \({I_{xz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {{y^2}\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \)

  18. Моменты инерции тела относительно координатных осей \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\)  
    \({I_x} = {I_{xy}} + {I_{xz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {{z^2} + {y^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \),
    \({I_y} = {I_{xy}} + {I_{yz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {{z^2} + {x^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \),
    \({I_z} = {I_{xz}} + {I_{yz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {{y^2} + {x^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \)

  19. Полярный момент инерции  
    \({I_0} = {I_{xy}} + {I_{yz}} + {I_{xz}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dV} \)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.