Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Свойства знакопеременных рядов
Числовая последовательность: \(\left\{ {a_n} \right\} \)
Знакопеременные ряды: \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{a_n}} \), \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{a_n}} \)
Число членов ряда: \(n\)
Частичная сумма ряда: \({S_n}\)
Сумма ряда: \(S\)
  1. Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных членов и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным рядом.

  2. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

  3. Признак Лейбница
    Признак Лейбница является достаточным условием сходимости знакочередующегося ряда.
    Пусть \(\left\{ {a_n} \right\} \) представляет собой положительный числовой ряд, такой, что

           \({a_{n + 1}} < {a_n}\) для всех \(n\);
           \(\lim\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0\).

    Тогда знакочередующиеся ряды \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{a_n}} \) и \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{a_n}} \) сходятся.

  4. Оценка остатка знакочередующегося ряда
    Пусть знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница и его сумма равна \(S\). Обозначим через \({S_n}\) частичную сумму ряда, включающую \(n\) членов. Тогда остаток знакочередующегося ряда по абсолютной величине меньше модуля первого отброшенного слагаемого:
    \(\left| {S - {S_n}} \right| < \left| {{a_{n + 1}}} \right|\).

  5. Абсолютная сходимость ряда
    Ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) называется абсолютно сходящимся, если ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \), составленный из модулей членов \({a_n}\), также сходится. Если ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

  6. Условная сходимость ряда
    Ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \), составленный из модулей членов \({a_n}\), расходится. Другими словами, ряд является условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно.



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.