Math24.ru
Дифференциальные Уравнения
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Радиоактивный распад
В природе существует большое число атомных ядер, которые могут спонтанно излучать элементарные частицы или ядерные фрагменты. Такое явление называется радиоактивным распадом. Этот эффект изучали на рубеже \(19-20\) веков Антуан Беккерель, Мария и Пьер Кюри, Фредерик Содди, Эрнест Резерфорд и другие ученые. В результате экспериментов, Ф.Содди и Э.Резерфорд вывели закон радиоактивного распада, который описывается дифференциальным уравнением \[\frac{{dN}}{{dt}} = - \lambda N,\] где \(N\) − количество радиоактивного материала, \(\lambda\) − положительная константа, зависящая от радиоактивного вещества. Знак минус в правой части означает, что количество радиоактивного материала \(N\left( t \right)\) со временем уменьшается (рисунок \(1\)).

Данное уравнение легко решить, и решение имеет вид: \[N\left( t \right) = C{e^{ - \lambda t}}.\] Чтобы определить постоянную \(C,\) необходимо указать начальное значение. Если в момент \(t = 0\) количество вещества было \({N_0},\) то закон радиоактивного распада записывается в виде: \[N\left( t \right) = {N_0}{e^{ - \lambda t}}.\]
закон радиоактивного распада
основные изотопы в авариях Чернобыля и Фукусимы
Рис.1
Рис.2
Далее мы введем две полезных величины, вытекающие из данного закона.

Периодом полураспада \(T\) радиоактивного материала называется время, необходимое для распада половины первоначального количества вещества. Следовательно, в момент \(T:\) \[N\left( T \right) = \frac{{{N_0}}}{2} = {N_0}{e^{ - \lambda T}}.\] Отсюда получаем формулу для периода полураспада: \[ {{e^{ - \lambda T}} = \frac{1}{2},}\;\; {\Rightarrow - \lambda T = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2,}\;\; {\Rightarrow T = \frac{1}{\lambda }\ln 2.} \] Среднее время жизни \(\tau\) радиоактивного атома определяется выражением \[\tau = \frac{1}{\lambda }.\] Видно, что период полураспада \(T\) и среднее время жизни \(\tau\) связаны между собой по формуле: \[T = \tau \ln 2 \approx 0.693\,\tau \] Эти два параметра широко варьируются для различных радиоактивных материалов. Например, период полураспада полония-\(212\) меньше \(1\) микросекунды, а период полураспада тория-\(232\) превышает миллиард лет! Большой спектр изотопов с различными периодами полураспада был выброшен из атомных реакторов и охлаждающих бассейнов при авариях в Чернобыле и Фукусиме (рисунок \(2\)).

   Пример 1
Найти массу радиоактивного материала через промежуток времени, равный трем периодам полураспада. Начальная масса составляла \(80\,\text{г}.\)

Решение.
По истечении периода полураспада масса радиоактивного материала уменьшается в два раза. Поэтому, после \(3\) периодов полураспада масса материала будет составлять \({\left( {\large\frac{1}{2}\normalsize} \right)^3} = \large\frac{1}{8}\normalsize\) от первоначального количества. Следовательно, через заданный промежуток времени масса вещества будет равна \(80\,\text{г}\cdot {\large\frac{1}{8}\normalsize} = 10\,\text{г}.\)

   Пример 2
Начальная масса изотопа йода составляла \(200\,\text{г}.\) Определить массу йода спустя \(30\) дней, если период полураспада данного изотопа \(8\) дней.

Решение.
Согласно закону радиоактивного распада, масса изотопного вещества зависит от времени следующим образом: \[N\left( t \right) = {N_0}{e^{ - \lambda t}}.\] Постоянная распада \(\lambda\) здесь равна \[\lambda = \frac{{\ln 2}}{T},\;\;\text{где}\;\;T = 8\;\text{дней}.\] Вычислим массу вещества через \(30\) дней: \[ {N\left( {t = 30} \right) = 200{e^{ - {\large\frac{{30\ln 2}}{8}\normalsize}}} } = {200{e^{ - {\large\frac{{30 \cdot 0.693}}{8}\normalsize}}} } {\approx 200{e^{ - 2.6}} } {\approx 200 \cdot 0.074 } = {14.9\;\text{г}.} \]
   Пример 3
Радиоактивный изотоп индий-\(111\) часто используется в радиоизотопной медицинской диагностике и лучевой терапии. Его период полураспада составляет \(2.8\) дней. Какова была первоначальная масса изотопного вещества, если через две недели осталось \(5\,\text{г}?\)

Решение.
Используя закон радиоактивного распада, можно записать: \[N\left( t \right) = {N_0}{e^{ - \lambda t}},\;\;\text{где}\;\;\lambda = \frac{{\ln 2}}{T}.\] Решим уравнение относительно \({N_0}:\) \[ {{N_0} = \frac{{N\left( t \right)}}{{{e^{ - \lambda t}}}} } = {N\left( t \right){e^{\lambda t}} } = {N\left( t \right){e^{\large\frac{{t\ln 2}}{T}\normalsize}}.} \] Подставляя известные значения \(T = 2.8\) дней, \(t = 14\) дней и \(N\left( {t = 14} \right) = 5\,\text{г},\) получаем: \[{N_0} = 5{e^{\large\frac{{14\ln 2}}{{2.8}}\normalsize}} \approx 5{e^{3.47}} \approx 5 \cdot 32 = 160\,\text{г}.\]
   Пример 4
Найти период полураспада радиоактивного вещества, если активность каждый месяц уменьшается на \(10\%.\)

Решение.
Активность изотопа измеряется числом распада ядер за единицу времени, т.е. скоростью распада. Предположим, что \(d{N_d}\) ядер распадаются за некоторый короткий период времени \(dt.\) Тогда активность изотопа \(A\) выражается формулой \[A = \frac{{d{N_d}}}{{dt}}.\] Согласно закону радиоактивного распада, \[N\left( t \right) = {N_0}{e^{ - \lambda t}},\] где \(N\left( t \right)\) − количество еще нераспавшегося вещества. Поэтому, \[ {{N_d}\left( t \right) = {N_0} - N\left( t \right) } = {{N_0} - {N_0}{e^{ - \lambda t}} } = {{N_0}\left( {1 - {e^{ - \lambda t}}} \right).} \] Дифференцируя последнее выражение по времени \(t,\) находим выражение для активности: \[A\left( t \right) = \frac{{d{N_d}}}{{dt}} = {N_0}\lambda {e^{ - \lambda t}}.\] Первоначальная активность изотопа составляла \[A\left( {t = 0} \right) = {A_0} = {N_0}\lambda .\] Следовательно, \[A\left( t \right) = {A_0}{e^{ - \lambda t}}.\] Как видно, активность снижается со временем по такому же закону, как и количество еще нераспавшегося материала. Подставляя выражение для периода полураспада \(T = \large\frac{{\ln 2}}{\lambda }\normalsize\) в последнюю формулу, получаем: \[A\left( t \right) = {A_0}{e^{ - \large\frac{{t\ln 2}}{T}\normalsize}}.\] Из последнего выражения легко найти значение \(T:\) \[ {{e^{ - \large\frac{{t\ln 2}}{T}\normalsize}} = \frac{A}{{{A_0}}},}\;\; {\Rightarrow - \frac{{t\ln 2}}{T} = \ln \frac{A}{{{A_0}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{t\ln 2}}{T} = \ln \frac{{{A_0}}}{A},}\;\; {\Rightarrow T = \frac{{t\ln 2}}{{\ln \frac{{{A_0}}}{A}}}.} \] В нашем случае период полураспада изотопа составляет \[ {T = \frac{{t\ln 2}}{{\ln \frac{{{A_0}}}{A}}} } = {\frac{{30\ln 2}}{{\ln \frac{{100}}{{90}}}} } \approx {\frac{{30 \cdot 0.93}}{{\ln 1.11}} } \approx {197.3\,\text{дня}.} \]

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.