Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Прямая на плоскости
Координаты точек: \(x\), \({x_0}\), \({x_1}\), \({x_2}\), \(y, \ldots \)
Действительные числа: \(k\), \(a\), \(b\), \(p\), \(t\),\(A\),\(B\), \(C\), \({A_1}\), \({A_2}, \ldots\)
Угол между прямыми: \(\varphi\)
Углы: \(\alpha\), \(\beta\)
Направляющие векторы прямой: \(\mathbf{s}\), \(\mathbf{b}\)
Вектор нормали: \(\mathbf{n}\)
Векторы к точкам прямой: \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{r}\)
Расстояние от точки до прямой: \(d\)
  1. Общее уравнение прямой в декартовой системе координат:
    \(Ax + By + C = 0\),
    где \(x\), \(y\) − координаты точек прямой, \(A\), \(B\), \(C\) − действительные числа при условии \({A^2} + {B^2} \ne 0\).

  2. Нормальный вектор к прямой
    Пусть прямая задана общим уравнением
    \(Ax + By + C = 0\),
    Тогда вектор \(\mathbf{n}\left( {A,B} \right)\), координаты которого равны коэффициентам \(A\), \(B\), является вектором нормали к данной прямой.

    нормальный вектор к прямой

  3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
    \(y = kx + b\)
    Здесь коэффициент \(k = \tan\alpha\) называется угловым коэффициентом прямой, а число \(b\) является координатой точки пересечения прямой с осью \(Oy\).

    уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом

  4. Угловой коэффициент прямой определяется соотношением
    \(k = \tan \alpha = \large\frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\normalsize\),
    где \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) − координаты двух точек прямой.

    угловой коэффициент

  5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
    \(y = {y_0} + k\left( {x - {x_0}} \right)\),
    где \(k\) − угловой коэффициент, а точка \(P\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) принадлежит прямой.

    уравнение прямой по заданной точке и угловому коэффициенту

  6. Уравнение прямой, проходящей через две точки  
    \(\large\frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}\normalsize = \large\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\normalsize\)  или  \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & y & 1\\ {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & 1 \end{array}} \right| = 0.\)

    уравнение прямой, проходящей через две точки

  7. Уравнение прямой в отрезках имеет вид
    \(\large\frac{x}{a}\normalsize + \large\frac{y}{b}\normalsize = 1\),
    где \(a\) и \(b\) соответствуют отрезкам, отсекаемым прямой на осях \(Ox\) и \(Oy\).

    уравнение прямой в отрезках

  8. Нормальное уравнение прямой  
    \(x\cos \beta + y\sin \beta - p = 0\)
    Здесь \(\cos \beta\) и \(\sin\beta = \cos \left( {90^\circ - \beta} \right)\) представляют собой направляющие косинусы вектора нормали. Параметр \(p\) равен расстоянию прямой от начала координат.

    нормальное уравнение прямой

  9. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору  
    \(\large\frac{{x - {x_1}}}{X}\normalsize = \large\frac{{y - {y_1}}}{Y}\normalsize\),
    где вектор \(\mathbf{s}\left( {X,Y} \right)\) направлен вдоль прямой, а точка \(P\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) лежит на этой прямой. Данное уравнение называется также каноническим уравнением прямой.

    уравнение прямой по точке и направляющему вектору

  10. Уравнение вертикальной прямой  
    \(x= a\)

  11. Уравнение горизонтальной прямой  
    \(y= b\)

  12. Уравнение прямой в векторной форме
    \(\mathbf{r}= \mathbf{a} + t\mathbf{b}\),
    где вектор \(\mathbf{a}\) проведен из начала координат к некоторой точке \(A\) с известными координатами, лежащей на данной прямой. Вектор \(\mathbf{b}\) определяет направление прямой. Вектор \(\mathbf{r} = \mathbf{OX}\) представляет собой позиционный вектор, направленный из начала координат к произвольной точке \(X\) данной прямой. Число \(t\) является параметром, изменяющимся от \( - \infty \) до \(\infty \).

    векторное уравнение прямой

  13. Уравнение прямой в параметрической форме
    \( \left\{ \begin{aligned} x &= {a_1} + t{b_1} \\ y &= {a_2} + t{b_2} \end{aligned} \right. \),
    где \(\left( {{a_1},{a_2}} \right)\) являются координатами некоторой известной точки \(A\), лежащей на прямой, \(\left( {x,y} \right)\) − координаты произвольной точки прямой, \(\left( {{b_1},{b_2}} \right)\) − координаты вектора \(\mathbf{b}\), параллельного данной прямой, \(t\) − параметр.

    параметрическое уравнение прямой

  14. Расстояние от точки до прямой
    Расстояние \(d\) от точки \(M\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\) выражается формулой
    \(d = \large\frac{{\left| {A{x_1} + B{y_1} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\normalsize.\)

    расстояние от точки до прямой

  15. Параллельные прямые
    Две прямые \(y = {k_1}x + {b_1}\) и \(y = {k_2}x + {b_2}\) параллельны при условии
    \({k_1} = {k_2}\).
    Две прямые \({A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0\) и \({A_2}x + {B_2}y + {C_2} = 0\) параллельны, если
    \(\large\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}\normalsize = \large\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\normalsize\).

    параллельные прямые

  16. Перпендикулярные прямые
    Две прямые \(y = {k_1}x + {b_1}\) и \(y = {k_2}x + {b_2}\) перпендикулярны, если
    \({k_1} = - \large\frac{1}{{{k_2}}}\normalsize\) или (что эквивалентно) \({k_1}{k_2} = - 1\).
    Две прямые \({A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0\) и \({A_2}x + {B_2}y + {C_2} = 0\) перпендикулярны, если
    \({A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} = 0\).

    перпендикулярные прямые

  17. Угол между прямыми  
    \(\tan \varphi = \large\frac{{{k_2} - {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}\normalsize,\;\;\cos \varphi = \large\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt {A_2^2 + B_2^2} }}\normalsize\)

    угол между прямыми

  18. Пересечение двух прямых
    Если две прямые \({A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0\) и \({A_2}x + {B_2}y + {C_2} = 0\) пересекаются, то координаты точки пересечения равны
    \({x_0} = \large\frac{{ - {C_1}{B_2} + {C_2}{B_1}}}{{{A_1}{B_2} - {A_2}{B_1}}}\normalsize,\;\;{y_0} = \large\frac{{ - {A_1}{C_2} + {A_2}{C_1}}}{{{A_1}{B_2} - {A_2}{B_1}}}\normalsize.\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.