Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Произвольный треугольник
Стороны треугольника: \(a\), \(b\), \(c\)
Углы треугольника: \(A = \alpha\) \(B = \beta\), \(C = \gamma\)
Высоты к сторонам \(a\), \(b\), \(c\):  \({h_a}\), \({h_b}\), \({h_c}\)
Медианы к сторонам \(a\), \(b\), \(c\):  \({m_a}\), \({m_b}\), \({m_c}\)
Биссектрисы углов \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\):  \({t_a}\), \({t_b}\), \({t_c}\)
Средняя линия треугольника: \(q\)
Радиус описанной окружности: \(R\)
Радиус вписанной окружности: \(r\)
Полупериметр треугольника: \(p\)
Площадь треугольника: \(S\)
  1. Треугольником называется геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой.

    произвольный треугольник

  2. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):
    \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\)

  3. Неравенство треугольника  
    \(a + b > c\)
    \(b + c > a\)
    \(a + c > b\)

  4. \(\left| {a - b} \right| < c\)
    \(\left| {b - c} \right| < a\)
    \(\left| {a - c} \right| < b\)

  5. Средняя линия треугольника  
    \(q = a/2,\;\;q\parallel a\)

    средняя линия в треугольнике

  6. Теорема косинусов  
    \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha\)
    \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \beta \)
    \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \gamma \)

  7. Теорема синусов
    \(\large\frac{a}{{\sin \alpha }}\normalsize = \large\frac{b}{{\sin \beta }}\normalsize = \large\frac{c}{{\sin \gamma }}\normalsize = 2R,\)
    где \(R\) − радиус описанной окружности.

  8. Радиус описанной окружности  
    \(R = \large\frac{a}{{\sin \alpha }}\normalsize = \large\frac{b}{{\sin \beta }}\normalsize = \large\frac{c}{{\sin \gamma }}\normalsize = \large\frac{{bc}}{{2{h_a}}}\normalsize = \large\frac{{ac}}{{2{h_b}}}\normalsize = \large\frac{{ab}}{{2{h_c}}}\normalsize = \large\frac{{abc}}{{4S}}\normalsize\)

  9. Радиус вписанной окружности  
    \({r^2} = \large\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{p}\normalsize,\;\;\large\frac{1}{r}\normalsize = \large\frac{1}{{{h_a}}}\normalsize + \large\frac{1}{{{h_b}}}\normalsize + \large\frac{1}{{{h_c}}}\normalsize\)

  10. Нахождение углов треугольника по известным сторонам  
    \(\sin \large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \sqrt {\large\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - c} \right)}}{{bc}}\normalsize} \)
    \(\cos\large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \sqrt {\large\frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}\normalsize} \)
    \(\tan\large\frac{\alpha }{2}\normalsize = \sqrt {\large\frac{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{p\left( {p - a} \right)}}\normalsize} \)

  11. Нахождение высот треугольника по известным сторонам  
    \({h_a} = \large\frac{2}{a}\normalsize\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
    \({h_b} = \large\frac{2}{b}\normalsize\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
    \({h_c} = \large\frac{2}{c}\normalsize\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

  12. Нахождение высот треугольника по известной стороне и углу  
    \({h_a} = b\sin \gamma = c\sin \beta \)
    \({h_b} = a\sin \gamma = c\sin \alpha \)
    \({h_c} = a\sin \beta = b\sin \alpha \)

  13. Нахождение медиан треугольника по известным сторонам  
    \(m_a^2 = \large\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2}\normalsize - \large\frac{{{a^2}}}{4}\normalsize\)
    \(m_b^2 = \large\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2}\normalsize - \large\frac{{{b^2}}}{4}\normalsize\)
    \(m_c^2 = \large\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\normalsize - \large\frac{{{c^2}}}{4}\normalsize\)

    точка пересечения медиан в треугольнике

  14. Расстояния от вершин до центра пересечения медиан  
    \(AM = \large\frac{2}{3}\normalsize{m_a}\),   \(BM = \large\frac{2}{3}\normalsize{m_b}\),   \(CM = \large\frac{2}{3}\normalsize{m_c}\)

  15. Нахождение биссектрис треугольника по известным сторонам  
    \(t_a^2 = \large\frac{{4bcp\left( {p - a} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\normalsize\)
    \(t_b^2 = \large\frac{{4acp\left( {p - b} \right)}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}}\normalsize\)
    \(t_c^2 = \large\frac{{4abp\left( {p - c} \right)}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\normalsize\)

  16. Площадь треугольника  
    \(S = \large\frac{{a{h_a}}}{2}\normalsize = \large\frac{{b{h_b}}}{2}\normalsize = \large\frac{{c{h_c}}}{2}\normalsize\)
    \(S = \large\frac{{ab\sin \gamma }}{2}\normalsize = \large\frac{{ac\sin \beta }}{2}\normalsize = \large\frac{{bc\sin \alpha }}{2}\normalsize\)
    \(S = pr\)
    \(S = \large\frac{{abc}}{{4R}}\normalsize\)
    \(S = 2{R^2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \)
    \(S = {p^2}\tan\large\frac{\alpha }{2}\normalsize \tan\large\frac{\beta }{2}\normalsize \tan\large\frac{\gamma }{2}\normalsize\)

  17. Формула Герона  
    \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.