Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Производные высшего порядка
Производные высшего порядка явно заданной функции
Пусть функция \(y = f\left( x \right)\) имеет конечную производную \(f'\left( x \right)\) в некотором интервале \(\left( {a,b} \right),\) т.е. производная \(f'\left( x \right)\) также является функцией в этом интервале. Если эта функция дифференцируема, то мы можем найти вторую производную исходной функции \(f\left( x \right)\), которая обозначается в виде \[f'' = f' = {\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^\prime } = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right) = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}.\] Аналогично, если \(f''\) существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции \(f\left( x \right)\): \[f''' = \frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} = y'''.\] Производные более высокого порядка (если они существуют) определяются как \[ {{f^{\left( 4 \right)}} = \frac{{{d^4}y}}{{d{x^4}}} = {y^{\left( 4 \right)}} = {\left( {{f^{\left( 3 \right)}}} \right)^\prime },} \ldots , {{f^{\left( n \right)}} = \frac{{{d^n}y}}{{d{x^n}}} = {y^{\left( n \right)}} = {\left( {{f^{\left( {n - 1} \right)}}} \right)^\prime }.} \] Таким образом, понятие производной \(n\)-го порядка вводится индуктивно путем последовательного вычисления \(n\) производных, начиная с производной первого порядка. Переход к производной следующего, более высокого порядка производится с помощью рекуррентной формулы \[{y^{\left( n \right)}} = {\left( {{y^{\left( {n - 1} \right)}}} \right)^\prime }.\] В ряде случаев можно вывести общую формулу для производной произвольного \(n\)-го порядка без вычисления промежуточных производных. Некоторые такие примеры рассмотрены ниже.

Отметим, что для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие линейные соотношения: \[ {{\left( {u + v} \right)^{\left( n \right)}} = {u^{\left( n \right)}} + {v^{\left( n \right)}},}\;\;\; {{\left( {Cu} \right)^{\left( n \right)}} = C{u^{\left( n \right)}},\;C = \text{const}.} \]
Производные высшего порядка неявно заданной функции
Производная \(n\)-го порядка неявно заданной функции находится последовательным (\(n\) раз) дифференцированием уравнения \(F\left( {x,y} \right) = 0.\). На каждом шаге, после соответствующих подстановок и преобразований, можно получить явное выражение для производной, зависящее лишь от переменных \(x\), \(y\), т.е. производные имеют вид \[ {y' = {f_1}\left( {x,y} \right),}\;\; {y'' = {f_2}\left( {x,y} \right), \ldots,}\;\; {{y^{\left( n \right)}} = {f_n}\left( {x,y} \right).} \]
Производные высшего порядка функции, заданной параметрически
Рассмотрим функцию \(y = f\left( x \right)\), заданную параметрически с помощью двух уравнений \[ \left\{ \begin{aligned} x &= x\left( t \right) \\ y &= y\left( t \right) \end{aligned} \right.. \] Первая производная данной функции выражается формулой \[y' = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}}.\] Дифференцируя еще раз по \(x\), находим производную второго порядка: \[y'' = {y''_{xx}} = \frac{{{\left( {{y'_x}} \right)}'_t}}{{{x'_t}}}.\] Аналогично определяются производные третьего и более высокого порядка: \[ {y''' = {y'''_{xxx}} = \frac{{{{\left( {{y''_{xx}}} \right)}'_t}}}{{{x'_t}}}, \ldots,}\; {{y^{\left( n \right)}} = y_{\underbrace {xx \ldots x}_n}^{\left( n \right)} = \frac{{{{\left( {y_{\underbrace {xx \ldots x}_{n - 1}}^{\left( {n - 1} \right)}} \right)}'_t}}}{{{x'_t}}}.} \]
   Пример 1
Найти \(y''\), если \(y = x\ln x.\)

Решение.
Вычислим первую производную, дифференцируя функцию как произведение: \[ {y' = \left( {x\ln x} \right)' } ={ x' \cdot \ln x + x \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime } } ={ 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1.} \] Теперь найдем производную второго порядка: \[ {y'' = {\left( {\ln x + 1} \right)^\prime } } = {\frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x}.} \]
   Пример 2
Найти вторую производную функции \(y = \sqrt[\large 4\normalsize]{{x + 1}}.\)

Решение.
Сначала вычислим первую производную: \[ y' = {\left( {\sqrt[\large 4\normalsize]{{x + 1}}} \right)^\prime } = {\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^{\large\frac{1}{4}\normalsize}}} \right]^\prime } = \frac{1}{4}{\left( {x + 1} \right)^{ - \large\frac{3}{4}\normalsize}} = \frac{1}{{4\sqrt[\large 4\normalsize]{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}}}. \] Дифференцируем еще раз: \[ {y'' = {\left( {y'} \right)^\prime } = {\left[ {\frac{1}{4}{{\left( {x + 1} \right)}^{ - \large\frac{3}{4}\normalsize}}} \right]^\prime } } = {\frac{1}{4} \cdot \left( { - \frac{3}{4}} \right){\left( {x + 1} \right)^{ - \large\frac{7}{4}\normalsize}} } = { - \frac{3}{{16}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{\large\frac{7}{4}\normalsize}}}} } = { - \frac{3}{{16\sqrt[\large 4\normalsize]{{{{\left( {x + 1} \right)}^7}}}}}.} \]
   Пример 3
Вычислить \(y''\) для параболы \({y^2} = 4x.\)

Решение.
Дифференцируя как неявную функцию, имеем \[2yy' = 4,\;\; \Rightarrow yy' = 2.\] Дифференцируя еще раз и используя формулу для производной произведения, получаем \[y'y' + yy'' = 0.\] Умножим обе части на \({y^2}\): \[{y^2}{\left( {y'} \right)^2} + {y^3}y'' = 0.\] Поскольку \(yy' = 2\), и следовательно, \({\left( {yy'} \right)^2} = 4,\) то последнее уравнение записывается в виде: \[4 + {y^3}y'' = 0.\] Отсюда следует, что \[y'' = - \frac{4}{{{y^3}}}.\]
   Пример 4
Дана функция \(y = {\left( {2x + 1} \right)^3}\left( {x - 1} \right).\) Найти все производные \(n\)-го порядка с \(n = 1\) до \(n = 5.\)

Решение.
Преобразуем сначала заданную функцию в многочлен: \[ {y = {\left( {2x + 1} \right)^3}\left( {x - 1} \right) } = {\left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} + 3 \cdot {{\left( {2x} \right)}^2} \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot {1^2} + {1^3}} \right]\left( {x - 1} \right) } = {\left( {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) } = {\color{blue}{8{x^4}} + \color{red}{12{x^3}} + \color{maroon}{6{x^2}} + \color{green}x - \color{red}{8{x^3}} - \color{maroon}{12{x^2}} - \color{green}{6x} - \color{coral}1 } = {\color{blue}{8{x^4}} + \color{red}{4{x^3}} - \color{maroon}{6{x^2}} - \color{green}{5x} - \color{coral}1.} \] Теперь последовательно вычислим производные с \(1\)-го до \(5\)-го порядка: \[ {y' = {\left( {8{x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} - 5x - 1} \right)^\prime } = 32{x^3} + 12{x^2} - 12x - 5,}\;\;\; {y'' = {\left( {y'} \right)^\prime } = {\left( {32{x^3} + 12{x^2} - 12x - 5} \right)^\prime } = 96{x^2} + 24x - 12,}\;\;\; {y''' = {\left( {y''} \right)^\prime } = {\left( {96{x^2} + 24x - 12} \right)^\prime } = 192x + 24,}\;\;\; {{y^{\left( 4 \right)}} = {\left( {y'''} \right)^\prime } = {\left( {192x + 24} \right)^\prime } = 192,}\;\;\; {{y^{\left( 5 \right)}} = {\left( {{y^{\left( 4 \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {192} \right)^\prime } = 0.} \]
   Пример 5
Найти производную \(n\)-го порядка функции натурального логарифма \(y = \ln x.\)

Решение.
Вычислим несколько последовательных производных заданной функции: \[ {y' = {\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x},}\;\;\; {y'' = {\left( {y'} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{ - 1}}} \right)^\prime } = - {x^{ - 2}} = - \frac{1}{{{x^2}}},}\;\;\; {y''' = {\left( {y''} \right)^\prime } = {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = 2{x^{ - 3}} = \frac{2}{{{x^3}}},}\;\;\; {{y^{\left( 4 \right)}} = {\left( {y'''} \right)^\prime } = {\left( {\frac{2}{{{x^3}}}} \right)^\prime } = - 6{x^{ - 4}} = - \frac{6}{{{x^4}}},}\;\;\; {{y^{\left( 5 \right)}} = {\left( {{y^{\left( 4 \right)}}} \right)^\prime } = {\left( { - \frac{6}{{{x^4}}}} \right)^\prime } = 24{x^{ - 5}} = \frac{{24}}{{{x^5}}}.} \] Отсюда видно, что производная произвольного \(n\)-го порядка выражается формулой \[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\left( {n - 1} \right)!}}{{{x^n}}}.\] Строгое обоснование этой формулы можно получить, используя метод математической индукции.

   Пример 6
Определить все производные синуса.

Решение.
Вычислим несколько первых производных: \[ {y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right),}\;\;\; {y'' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x = \sin \left( {x + 2 \cdot \frac{\pi }{2}} \right),}\;\;\; {y''' = {\left( { - \sin x} \right)^\prime } = - \cos x = \sin \left( {x + 3 \cdot \frac{\pi }{2}} \right),}\;\;\; {{y^{IV}} = {\left( { - \cos x} \right)^\prime } = \sin x = \sin \left( {x + 4 \cdot \frac{\pi }{2}} \right).} \] Очевидно, что производная синуса \(n\)-го порядка выражается формулой \[{y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right).\] Строгое доказательство этой формулы можно выполнить методом математической индукции.

   Пример 7
Определить все производные косинуса.

Решение.
Аналогично примеру \(6\), найдем последовательно несколько первых производных функции косинус: \[ {y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right),}\;\;\; {y'' = {\left( { - \sin x} \right)^\prime } = - \cos x = \cos \left( {x + 2 \cdot \frac{\pi }{2}} \right),}\;\;\; {y''' = {\left( { - \cos x} \right)^\prime } = \sin x = \cos \left( {x + 3 \cdot \frac{\pi }{2}} \right),}\;\;\; {{y^{IV}} = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x = \cos \left( {x + 4 \cdot \frac{\pi }{2}} \right).} \] Ясно, что следующая производная \(5\)-го порядка совпадает с первой производной, \(6\)-ая − со \(2\)-ой и так далее. Таким образом, производная \(n\)-го порядка функции косинус описывается формулой \[{y^{\left( n \right)}} = {\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right).\]
   Пример 8
Найти все производные функции \(y = \large\frac{1}{x}\normalsize.\)

Решение.
Найдем сначала несколько первых производных. \[ {y' = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}},}\;\; {{y'' = {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = - 1 \cdot {\left( {{x^{ - 2}}} \right)^\prime }} = {- 1 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot {x^{ - 3}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} \cdot 2}}{{{x^3}}},}}\;\; {{y''' = {\left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} \cdot 2}}{{{x^3}}}} \right)^\prime } = {\left( { - 1} \right)^2} \cdot 2 \cdot {\left( {{x^{ - 3}}} \right)^\prime } } = {{\left( { - 1} \right)^3} \cdot 2 \cdot 3 \cdot {x^{ - 4}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} \cdot 2 \cdot 3}}{{{x^4}}},}}\;\; {{{y^{IV}} = {\left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} \cdot 2 \cdot 3}}{{{x^4}}}} \right)^\prime } = {\left( { - 1} \right)^3} \cdot 2 \cdot 3 \cdot {\left( {{x^{ - 4}}} \right)^\prime } } = {{\left( { - 1} \right)^4} \cdot 4! \cdot {x^{ - 5}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}4!}}{{{x^5}}}.}} \] Этого достаточно, чтобы обнаружить общий "паттерн": \[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}}{{{x^{n + 1}}}}.\]
   Пример 9
Найти вторую производную функции \(y = \arcsin \large\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}\normalsize.\)

Решение.
Дифференцируя как сложную функцию, найдем первую производную: \[\require{cancel} {y = {\left( {\arcsin \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2}} }} \cdot {\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} }} \cdot \frac{{2x \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt {\cancel{\color{blue}{x^4}} + \color{red}{2{x^2}} + \cancel{\color{green}1} - \cancel{\color{blue}{x^4}} + \color{red}{2{x^2}} - \cancel{\color{green}1}} }} \cdot \frac{{\cancel{\color{maroon}{2{x^3}}} + \color{darkmagenta}{2x} - \cancel{\color{maroon}{2{x^3}}} + \color{darkmagenta}{2x}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\color{darkmagenta}{4x}}}{{\sqrt {\color{red}{4{x^2}}} \left( {{x^2} + 1} \right)}} } = {\frac{{4x}}{{2\left| x \right|\left( {{x^2} + 1} \right)}} } = {\frac{{2x}}{{\left| x \right|\left( {{x^2} + 1} \right)}}.} \] Представим здесь \({\left| x \right|}\) как \(x\,\text{sign}\,x,\) где \[ \text{sign}\,x = \begin{cases} - 1, & \text{если}\;\;x < 0 \\ 0, & \text{если} \;\;x = 0 \\ + 1, & \text{если} \;\;x > 0 \end{cases} .\] Тогда \[ {y' = \frac{{2x}}{{\left| x \right|\left( {{x^2} + 1} \right)}} } = {\frac{{2\cancel{x}}}{{\cancel{x} \,\text{sign}\,x\left( {{x^2} + 1} \right)}} } = {\frac{{2\,\text{sign}\,x}}{{{x^2} + 1}}.} \] Вычислим теперь вторую производную, дифференцируя предыдущее выражение как частное двух функций: \[ {y'' = {\left( {\frac{{2\,\text{sign}\,x}}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {2\,\text{sign}\,x} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) } = {2\,\text{sign}\,x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{0 \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) - 2\,\text{sign}\,x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} } = { - \frac{{4x\,\text{sign}\,x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}.} \]
   Пример 10
Найти третью производную функции \(y = \large\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}\normalsize.\)

Решение.
Дифференцируем последовательно заданную функцию: \[ {y' = {\left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{x^3}} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - {x^3}{{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{3{x^2}\left( {x - 1} \right) - {x^3} \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\color{blue}{3{x^3}} - \color{red}{3{x^2}} - \color{blue}{x^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} } = {\frac{\color{blue}{{2{x^3}} - \color{red}{3{x^2}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},} \] \[ {y'' = {\left( {y'} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {2{x^3} - 3{x^2}} \right)}^\prime }{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {2{x^3} - 3{x^2}} \right){{\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} } = {\frac{{\left( {6{x^2} - 6x} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {2{x^3} - 3{x^2}} \right) \cdot 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} } = {\frac{{6x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4{x^3} + 6{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} } = {\frac{{\color{blue}{6{x^3}} - \color{red}{12{x^2}} + \color{green}{6x} - \color{blue}{4{x^3}} + \color{red}{6{x^2}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} } = {\frac{{\color{blue}{2{x^3}} - \color{red}{6{x^2}} + \color{green}{6x}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}.} \] \[ {y''' = {\left( {y''} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 6x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {2{x^3} - 6{x^2} + 6x} \right)}^\prime }{{\left( {x - 1} \right)}^3} - \left( {2{x^3} - 6{x^2} + 6x} \right){{\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} } = {\frac{{\left( {6{x^2} - 12x + 6} \right){{\left( {x - 1} \right)}^3} - \left( {2{x^3} - 6{x^2} + 6x} \right) \cdot 3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} } = {\frac{{\left[ {\left( {6{x^2} - 12x + 6} \right)\left( {x - 1} \right) - 3\left( {2{x^3} - 6{x^2} + 6x} \right)} \right]{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} } = {\frac{{\cancel{\color{blue}{6{x^3}}} - \cancel{\color{red}{12{x^2}}} + \cancel{\color{green}{6x}} - \cancel{\color{red}{6{x^2}}} + \cancel{\color{green}{12x}} - \color{maroon}{6} - \cancel{\color{blue}{6{x^3}}} + \cancel{\color{red}{18{x^2}}} - \cancel{\color{green}{18x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} } = {- \frac{\color{maroon}{6}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}. } \]
   Пример 11
Найти вторую производную неявно заданной функции \({x^2} + {y^2} = {R^2}\) (каноническое уравнение окружности).

Решение.
Учитывая, что \(y\) − функция переменной \(x\) и дифференцируя обе части уравнения, находим первую производную: \[ {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^\prime } = {\left( {{R^2}} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow 2x + 2yy' = 0,}\;\; {\Rightarrow yy' = - x,}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{x}{y}.} \] Продифференцируем полученное выражение еще раз: \[ {{\left( {y'} \right)^\prime } = {\left( { - \frac{x}{y}} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow y'' = - \frac{{x'y - xy'}}{{{y^2}}},}\;\; {\Rightarrow y'' = - \frac{{y - xy'}}{{{y^2}}} = \frac{{xy' - y}}{{{y^2}}}.} \] Подставляя в последнюю формулу первую производную \(y'\), имеем: \[ {y'' = \frac{{xy' - y}}{{{y^2}}} } = {\frac{{x\left( { - \frac{x}{y}} \right) - y}}{{{y^2}}} } = {\frac{{ - \frac{{{x^2}}}{y} - y}}{{{y^2}}} } = {\frac{{ - {x^2} - {y^2}}}{{{y^3}}} } = { - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{y^3}}} } = { - \frac{{{R^2}}}{{{y^3}}}.} \]
   Пример 12
Найти производную \(n\)-го порядка функции \(y = {3^{2x + 1}}.\)

Решение.
Вычислим последовательно несколько производных, начиная с производной первого порядка. \[ {y' = {\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^\prime } } = {{3^{2x + 1}} \cdot \ln 3 \cdot {\left( {2x + 1} \right)^\prime } } = {{3^{2x + 1}} \cdot 2\ln 3,} \] \[ {y'' = {\left( {y'} \right)^\prime } } = {{\left( {{3^{2x + 1}} \cdot 2\ln 3} \right)^\prime } } = {{\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^\prime } \cdot 2\ln 3 } = {{3^{2x + 1}} \cdot {2^2}{\ln ^2}3,} \] \[ {y''' = {\left( {y''} \right)^\prime } } = {{\left( {{3^{2x + 1}} \cdot {2^2}{{\ln }^2}3} \right)^\prime } } = {{\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^\prime } \cdot {2^2}{\ln ^2}3 } = {{3^{2x + 1}} \cdot {2^3}{\ln ^3}3.} \] Отсюда видно, что производная \(n\)-го порядка выражается формулой \[ {{y^{\left( n \right)}} = {\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^{\left( n \right)}} } = {{3^{2x + 1}} \cdot {2^n}{\ln ^n}3.} \] Строгое доказательство можно провести методом математической индукции. Очевидно, что данная формула справедлива при \(n = 1\). Предположим, что она верна при \(n = k:\) \[ {{y^{\left( k \right)}} = {\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^{\left( k \right)}} } = {{3^{2x + 1}} \cdot {2^k}\,{\ln ^k}3.} \] Тогда при \(n = k + 1\) имеем: \[ {{y^{\left( {k + 1} \right)}} = {\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^{\left( {k + 1} \right)}} } = {{\left[ {{{\left( {{3^{2x + 1}}} \right)}^{\left( k \right)}}} \right]^\prime } } = {{\left( {{3^{2x + 1}} \cdot {2^k}\,{{\ln }^k}3} \right)^\prime } } = {{\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^\prime } \cdot {2^k}\,{\ln ^k}3 } = {{3^{2x + 1}} \cdot {2^{k + 1}}{\ln ^{k + 1}}3,} \] т.е. формула справедлива и при \(n = k + 1.\) Следовательно, она верна для любого натурального числа \(n.\)

   Пример 13
Найти производную \(n\)-го порядка степенной функции \(y = {x^m}\), где \(m\) − действительное число.

Решение.
Вычислим последовательно несколько первых производных: \[ {y' = {\left( {{x^m}} \right)^\prime } = m{x^{m - 1}},}\;\; {y'' = {\left( {y'} \right)^\prime } = {\left( {m{x^{m - 1}}} \right)^\prime } = {m\left( {m - 1} \right){x^{m - 2}},}}\;\; {y''' = {\left( {y''} \right)^\prime } = {\left[ {m\left( {m - 1} \right){x^{m - 2}}} \right]^\prime } = {\left[ {m\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)} \right]{x^{m - 3}}.}} \] Отсюда легко установить общее выражение для производной \(n\)-го порядка: \[{y^{\left( n \right)}} = m\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ldots \left( {m - n + 1} \right){x^{m - n}}.\] Докажем это методом математической индукции. Очевидно, что данная формула справедлива для \(n = 1\). Полагая, что она верна для степени \(n\), продифференцируем ее еще раз и найдем производную \(\left( {n + 1} \right)\)-го порядка: \[ {{y^{\left( {n + 1} \right)}} = {\left[ {{y^{\left( n \right)}}} \right]^\prime } } = {{\left[ {m\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ldots \left( {m - n + 1} \right){x^{m - n}}} \right]^\prime } } = {m\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ldots \left( {m - n + 1} \right){\left( {{x^{m - n}}} \right)^\prime } } = {m\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ldots \left( {m - n + 1} \right){x^{m - \left( {n + 1} \right)}}.} \] Как видно, производная \(\left( {n + 1} \right)\)-го порядка выражается такой же формулой, как и производная \(n\)-го порядка (только число \(n\) заменяется числом \(n + 1\)). Следовательно, полученное выражение справедливо для любого натурального значения \(n\) (\(n\) − порядок производной).

Заметим, что показатель степени \(m\), вообще говоря, является действительным числом. Если рассматривать лишь натуральные значения \(m\), то формулу для производной можно записать в более компактном виде: \[{y^{\left( n \right)}} = {\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{{m!}}{{\left( {m - n} \right)!}}{x^{m - n}},\] где \(n \le m\). Все остальные производные порядка \(n > m\) будут равны нулю.

   Пример 14
Найти производную \(n\)-го порядка от квадратного корня \(y = \sqrt x .\)

Решение.
Воспользуемся результатом примера \(13\), где выведена производная \(n\)-го порядка степенной функции с произвольным действительным показателем \(m\). В данном случае имеем \[y = \sqrt x = {x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}\;\;\left( {m = \frac{1}{2}} \right).\] Тогда производная записывается в виде \[ {y = {\left( {{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{2} - 2} \right) \cdots \left( {\frac{1}{2} - n + 1} \right){x^{\large\frac{1}{2}\normalsize - n}} } = {\frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot \left( { - \frac{3}{2}} \right) \cdot \left( { - \frac{5}{2}} \right) \cdots \left[ { - \left( {n - \frac{3}{2}} \right)} \right]\frac{{{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}}}{{{x^n}}} } = {\frac{1}{2} \cdot {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\left[ {\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdots \frac{{2n - 3}}{2}} \right]\frac{{\sqrt x }}{{{x^n}}} } = {\frac{1}{2} \cdot {\left( { - 1} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cdot \left[ {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \left( {2n - 3} \right)} \right]\frac{{\sqrt x }}{{{x^n}}} } = {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\left[ {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \left( {2n - 3} \right)} \right]\sqrt x }}{{{x^n}}}.} \] При \(n = 1\) производная равна \[ {y' = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^0} \cdot 1 \cdot \sqrt x }}{{{{\left( {2x} \right)}^1}}} } = {\frac{{\sqrt x }}{{2x}} } = {\frac{1}{{2\sqrt x }}.} \] При условии \(n \ge 2\) произведение нечетных чисел в квадратных скобках можно записать через двойной факториал: \[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \left( {2n - 3} \right) = \left( {2n - 3} \right)!!\] Следовательно, при \(n \ge 2\) производная \(n\)-го порядка выражается общей формулой \[ {{y^{\left( n \right)}} = \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 1} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cdot \left( {2n - 3} \right)!!\frac{{\sqrt x }}{{{x^n}}} } = {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\left( {2n - 3} \right)!!\sqrt x }}{{{{\left( {2x} \right)}^n}}}.} \] В частности, \[ {y'' = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}1!!\sqrt x }}{{{{\left( {2x} \right)}^2}}} = - \frac{{\sqrt x }}{{4{x^2}}} = - \frac{1}{{4\sqrt {{x^3}} }},}\;\; {y''' = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}3!!\sqrt x }}{{{{\left( {2x} \right)}^3}}} = \frac{{3\sqrt x }}{{8{x^3}}} = \frac{3}{{8\sqrt {{x^5}} }}.} \]
   Пример 15
Найти производную \(n\)-го порядка от кубического корня \(y = \sqrt[\large 3\normalsize]{x}.\)

Решение.
Первая производная кубического корня выражается формулой \[ {y' = {\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{3}{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize - 1}} } = {\frac{1}{3}{x^{ - \large\frac{2}{3}\normalsize}} } = {\frac{1}{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}}.} \] Далее используем общую формулу для производной \(n\)-го порядка степенной функции \(y = {x^m}\) (пример \(13\)): \[{\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} = m\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \cdots \left( {m - n + 1} \right){x^{m - n}}.\] В нашем случае \(m = \large\frac{1}{3}\normalsize.\) Следовательно, производная имеет такой вид: \[ {{y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)^{\left( n \right)}} } = {{\left( {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^{\left( n \right)}} } = {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)\left( {\frac{1}{3} - 2} \right)\left( {\frac{1}{3} - 3} \right) \cdots \left( {\frac{1}{3} - n + 1} \right){x^{\large\frac{1}{3}\normalsize - n}} } = {\frac{1}{3} \cdot \left( { - \frac{2}{3}} \right) \cdot \left( { - \frac{5}{3}} \right) \cdot \left( { - \frac{8}{3}} \right) \cdots \left[ { - \left( {n - \frac{4}{3}} \right)} \right]\frac{{{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{{x^n}}} } = {\frac{1}{3} \cdot {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\left[ {\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdots \frac{{3n - 4}}{3}} \right]\frac{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{{x^n}}} } = {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\left[ {2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots \left( {3n - 4} \right)} \right]\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{{{\left( {3x} \right)}^n}}}.} \] где \(n \ge 2.\) В частности, вторая и третья производные кубического корня выражаются формулами \[ {y'' = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^1} \cdot 2 \cdot \sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{{{\left( {3x} \right)}^2}}} } = { - \frac{{2\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{9{x^2}}} } = {- \frac{2}{{9\sqrt[3]{{{x^5}}}}},}\;\; {y''' = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{{{\left( {3x} \right)}^3}}} } = {\frac{{10\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{27{x^3}}} } = {\frac{{10}}{{27\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^8}}}}}.} \]
   Пример 16
Найти первую и вторую производные по переменной \(x\) от функции, заданной параметрически: \[ \left\{ \begin{aligned} x\left( t \right) &= {e^t}\sin t \\ y\left( t \right) &= {e^t}\cos t \end{aligned} \right.. \]
Решение.
Вычислим первую производную \({y'_x}\) по формуле: \[y' = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}}.\] Следовательно, \[ {y' = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{{{{\left( {{e^t}\cos t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{e^t}\sin t} \right)}^\prime }}} } = {\frac{{{{\left( {{e^t}} \right)}^\prime }\cos t + {e^t}{{\left( {\cos t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{e^t}} \right)}^\prime }\sin t + {e^t}{{\left( {\sin t} \right)}^\prime }}} } = {\frac{{{e^t}\cos t - {e^t}\sin t}}{{{e^t}\sin t + {e^t}\cos t}} } = {\frac{{\cancel{e^t}\left( {\cos t - \sin t} \right)}}{{\cancel{e^t}\left( {\sin t + \cos t} \right)}} } = {\frac{{\cos t - \sin t}}{{\cos t + \sin t}}.} \] Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную по \(x\): \[ {y'' = {y''_{xx}} = \frac{{{{\left( {{y'_x}} \right)}'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{{{\left( {\frac{{\cos t - \sin t}}{{\cos t + \sin t}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{e^t}\sin t} \right)}^\prime }}}.} \] Вычислим отдельно производную в числителе: \[ {{\left( {{y'_x}} \right)'_t} = {\left( {\frac{{\cos t - \sin t}}{{\cos t + \sin t}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\cos t - \sin t} \right)}^\prime }\left( {\cos t + \sin t} \right) - \left( {\cos t - \sin t} \right){{\left( {\cos t + \sin t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\cos t + \sin t} \right)}^2}}} } = {\frac{{\left( { - \sin t - \cos t} \right)\left( {\cos t + \sin t} \right) - \left( {\cos t - \sin t} \right)\left( { - \sin t + \cos t} \right)}}{{{{\left( {\cos t + \sin t} \right)}^2}}} } = {\frac{{ - {{\left( {\cos t + \sin t} \right)}^2} - {{\left( {\cos t - \sin t} \right)}^2}}}{{{{\left( {\cos t + \sin t} \right)}^2}}} } = {\frac{{{{\cos }^2}t + \cancel{2\sin t\cos t} + {{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t - \cancel{2\sin t\cos t} + {{\sin }^2}t}}{{{{\left( {\cos t + \sin t} \right)}^2}}} } = { - \frac{2}{{{{\left( {\cos t + \sin t} \right)}^2}}}.} \] Поскольку производная в знаменателе равна \[{x'_t} = {e^t}\left( {\sin t + \cos t} \right),\] то получаем следующее выражение для второй производной исходной функции: \[ {y'' = {y''_{xx}} = \frac{{{{\left( {{y'_x}} \right)}'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{ - \frac{2}{{{{\left( {\cos t + \sin t} \right)}^2}}}}}{{{e^t}\left( {\sin t + \cos t} \right)}} } = { - \frac{{2{e^{ - t}}}}{{{{\left( {\cos t + \sin t} \right)}^3}}}.} \]
   Пример 17
Дано уравнение эллипса в параметрической форме: \[x = a\cos t,\;\;y = b\sin t,\] где \(a\), \(b\) − полуоси эллипса, \(t\) − параметр. Найти первую, вторую и третью производные от функции \(y\) по переменной \(x\).

Решение.
Дифференцируя последовательно заданную параметрическую функцию, получаем: \[ {y = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{{{\left( {b\sin t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {a\cos t} \right)}^\prime }}} } = {\frac{{b\cos t}}{{ - a\sin t}} } = { - \frac{b}{a}\cot t,} \] \[ {y'' = {y''_{xx}} = \frac{{{{\left( {{y'_x}} \right)}'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{{{\left( { - \frac{b}{a}\cot t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {a\cos t} \right)}^\prime }}} } = {\frac{{\left( { - \frac{b}{a}} \right)\left( { - \frac{1}{{{{\sin }^2}t}}} \right)}}{{\left( { - a\sin t} \right)}} } = { - \frac{b}{{{a^2}}}\frac{1}{{{{\sin }^3}t}} } = { - \frac{b}{{{a^2}}}{\csc ^3}t,} \] \[ {y''' = {y'''_{xxx}} = \frac{{{{\left( {{y''_{xx}}} \right)}'_t} }}{{{x'_t}}} } = {\frac{{{{\left( { - \frac{b}{{{a^2}}}{{\csc }^3}t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {a\cos t} \right)}^\prime }}} } = {\frac{{\left( { - \frac{b}{{{a^2}}}} \right) \cdot 3{{\csc }^2}t \cdot {{\left( {\csc t} \right)}^\prime }}}{{\left( { - a\sin t} \right)}} } = { - \frac{{3b}}{{{a^3}}} \cdot \frac{{{{\csc }^2}t \cdot \left( { - \cot t} \right) \cdot \csc t}}{{\left( { - \sin t} \right)}} } = { - \frac{{3b}}{{{a^3}}} \cdot \frac{{{{\csc }^3}t\cot t}}{{\sin t}} } = { - \frac{{3b}}{{{a^3}}}{\csc ^4}t\cot t.} \]
   Пример 18
Найти третью производную функции, заданной уравнением \({x^2} + 3xy + {y^2} = 1.\)

Решение.
Однократное дифференцирование по переменной \(x\) приводит к следующему выражению: \[ {{\left( {{x^2} + 3xy + {y^2}} \right)^\prime } = {1^\prime },}\;\; {\Rightarrow 2x + 3\left( {x'y + xy'} \right) + 2yy' = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x + 3y + 3xy' + 2yy' = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x + 3y + \left( {3x + 2y} \right)y' = 0,}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{{2x + 3y}}{{3x + 2y}}.} \] Продифференцируем последнюю формулу еще раз, рассматривая \(y\) как сложную функцию: \[ {y'' = {\left( { - \frac{{2x + 3y}}{{3x + 2y}}} \right)^\prime } } = { - \frac{{{{\left( {2x + 3y} \right)}^\prime }\left( {3x + 2y} \right) - \left( {2x + 3y} \right){{\left( {3x + 2y} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}} } = { - \frac{{\left( {2 + 3y'} \right)\left( {3x + 2y} \right) - \left( {2x + 3y} \right)\left( {3 + 2y'} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}} } = { - \frac{{\cancel{\color{blue}{6x}} + \color{green}{9xy'} + \color{red}{4y} + \cancel{\color{maroon}{6yy'}} - \cancel{\color{blue}{6x}} - \color{red}{9y} - \color{green}{4xy'} - \cancel{\color{maroon}{6yy'}}}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}} } = { - \frac{{\color{green}{5xy'} - \color{red}{5y}}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}} } = {\frac{{5y - 5xy'}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}}.} \] Подставим полученное ранее явное выражение для первой производной \(y':\) \[ {y'' = \frac{{5y - 5xy'}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}} } = {\frac{{5y - 5x\left( { - \frac{{2x + 3y}}{{3x + 2y}}} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}} } = {\frac{{5y\left( {3x + 2y} \right) + 5x\left( {2x + 3y} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}} } = {\frac{{15xy + 10{y^2} + 10{x^2} + 15xy}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}} } = {\frac{{10\left( {{x^2} + 3xy + {y^2}} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}}.} \] Поскольку \({x^2} + 3xy + {y^2} = 1,\) то получаем следующее выражение для второй производной \(y'':\) \[y'' = \frac{{10}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}}.\] Аналогично, дифференцируя еще раз, найдем третью производную: \[ {y''' = {\left[ {\frac{{10}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}}} \right]^\prime } } = {\frac{{{{\left( {10} \right)}^\prime } \cdot {{\left( {3x + 2y} \right)}^3} - 10 \cdot {{\left[ {{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}} \right]}^\prime }}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^6}}} } = {\frac{{0 \cdot {{\left( {3x + 2y} \right)}^3} - 10 \cdot 3{{\left( {3x + 2y} \right)}^2} \cdot {{\left( {3x + 2y} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^6}}} } = { - \frac{{30{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}\left( {3 + 2y'} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^6}}} } = { - \frac{{30\left( {3 + 2y'} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^4}}} } = { - \frac{{90 + 60y'}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^4}}}.} \] Снова подставляем первую производную и находим: \[ {y''' = - \frac{{90 + 60y'}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^4}}} } = { - \frac{{90 + 60 \cdot \left( { - \frac{{2x + 3y}}{{3x + 2y}}} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^4}}} } = { - \frac{{90\left( {3x + 2y} \right) - 60\left( {2x + 3y} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^5}}} } = { - \frac{{150}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^5}}}.} \]
   Пример 19
Найти вторую производную функции, заданной уравнением \(x + y = {e^{x - y}}.\)

Решение.
Дифференцируя обе части по \(x\), получаем: \[ {{\left( {x + y} \right)^\prime } = {\left( {{e^{x - y}}} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow 1 + y' = {e^{x - y}} \cdot {\left( {x - y} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow 1 + y' = {e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right) = {e^{x - y}} - {e^{x - y}}y',}\;\; {\Rightarrow y' + {e^{x - y}}y' = {e^{x - y}} - 1,}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{{e^{x - y}} - 1}}{{{e^{x - y}} + 1}}.} \] Продолжая дифференцирование, находим вторую производную: \[ {y'' = {\left( {\frac{{{e^{x - y}} - 1}}{{{e^{x - y}} + 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{e^{x - y}} - 1} \right)}^\prime }\left( {{e^{x - y}} + 1} \right) - \left( {{e^{x - y}} - 1} \right){{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{{e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right)\left( {{e^{x - y}} + 1} \right) - \left( {{e^{x - y}} - 1} \right){e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right)}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{{e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right)\left( {\cancel{e^{x - y}} + 1 - \cancel{e^{x - y}} + 1} \right)}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{2{e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right)}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^2}}}.} \] Подставляем выражение для первой производной: \[ {y'' = \frac{{2{e^{x - y}}\left( {1 - y'} \right)}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{2{e^{x - y}}\left( {1 - \frac{{{e^{x - y}} - 1}}{{{e^{x - y}} + 1}}} \right)}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{2{e^{x - y}} \cdot \frac{{\cancel{e^{x - y}} + 1 - \cancel{e^{x - y}} + 1}}{{{e^{x - y}} + 1}}}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{4{e^{x - y}}}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^3}}}.} \] Теперь учтем исходное уравнение, согласно которому \[{e^{x - y}} = x + y.\] В результате получаем следующее выражение для производной \(y'':\) \[ {y'' = \frac{{4{e^{x - y}}}}{{{{\left( {{e^{x - y}} + 1} \right)}^3}}} } = {\frac{{4\left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^3}}}.} \]
   Пример 20
Кривая описывается неявным уравнением \(xy = 2{x^3} - {y^2}\) и проходит через точку \(\left( {1,1} \right).\) Найти первую и вторую производные в данной точке.

Решение.
Вычислим первую производную: \[ {{\left( {xy} \right)^\prime } = {\left( {2{x^3} - {y^2}} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow x'y + xy' = 6{x^2} - 2yy',}\;\; {\Rightarrow y + xy' = 6{x^2} - 2yy',}\;\; {\Rightarrow xy' + 2yy' = 6{x^2} - y,}\;\; {\Rightarrow y'\left( {x + 2y} \right) = 6{x^2} - y,}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{6{x^2} - y}}{{x + 2y}} } ={ \frac{{6 \cdot {1^2} - 1}}{{1 + 2 \cdot 1}} = \frac{5}{3}.} \] Дифференцируя еще раз, находим вторую производную: \[ {y'' = {\left( {\frac{{6{x^2} - y}}{{x + 2y}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {6{x^2} - y} \right)}^\prime }\left( {x + 2y} \right) - \left( {6{x^2} - y} \right){{\left( {x + 2y} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}} } = {\frac{{\left( {12x - y'} \right)\left( {x + 2y} \right) - \left( {6{x^2} - y} \right)\left( {1 + 2y'} \right)}}{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}} } = {\frac{{\color{blue}{12{x^2}} - xy' + 24xy - \cancel{\color{red}{2yy'}} - \color{blue}{6{x^2}} + y - 12{x^2}y' + \cancel{\color{red}{2yy'}}}}{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}} } = {\frac{{\color{blue}{6{x^2}} - xy' + 24xy - 12{x^2}y' + y}}{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}.} \] Подставляя известные значения \(x\), \(y\), \(y'\), получаем: \[y'' = \frac{{6 \cdot {1^2} - 1 \cdot \frac{5}{3} + 24 \cdot 1 \cdot 1 - 12 \cdot {1^2} \cdot \frac{5}{3} + 1}}{{{{\left( {1 + 2 \cdot 1} \right)}^2}}} = \frac{{28}}{{27}}.\]

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.