Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Производная степенной функции
Если \(f\left( x \right) = {x^p}\), где \(p\) − действительное число, то \[{\left( {{x^p}} \right)^\prime } = p{x^{p - 1}}.\] Вывод этой формулы приведен на странице Определение производной.

Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. \(f\left( x \right) = {x^{ - p}}\;\left( {p > 0} \right)\), то \[{\left( {{x^{ - p}}} \right)^\prime } = - p{x^{ - p - 1}} = - \frac{p}{{{x^{p + 1}}}}.\]

Производная полинома
Пусть \(f\left( x \right) = {a_n}{x^n} + \ldots + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0}\). Тогда \[f'\left( x \right) = n{a_n}{x^{n - 1}} + \left( {n - 1} \right){a_{n - 1}}{x^{n - 2}} + \ldots + 2{a_2}x + {a_1},\] где \({a_n}\), \({a_{n-1}}\), \(\ldots\), \({a_1}\), \({a_0}\), \(n\) − постоянные величины. В частности, для квадратичной функции \[{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^\prime } = 2ax + b,\] где \(a\), \(b\), \(c\) − постоянные коэффициенты.
Производная иррациональной функции
Если \(f\left( x \right) = \sqrt[\large m\normalsize]{x}\), то такую функцию можно представить как степенную с показателем \(\large\frac{1}{m}\normalsize\). Ее производная равна \[f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[\large m\normalsize]{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{m\sqrt[\large m\normalsize]{{{x^{m - 1}}}}}}.\] В частности, производная квадратного корня имеет вид: \[f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\] Производная кубического корня, соответственно, равна \[f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}}.\]
   Пример 1
Вычислить производную функции \(y = 6{x^{100}} + 7{x^{50}} + 8x\).

Решение.
Применим правило суммы: \[ {y^\prime\left( x \right) = {\left( {6{x^{100}} + 7{x^{50}} + 8x} \right)^\prime } } = {{\left( {6{x^{100}}} \right)^\prime } + {\left( {7{x^{50}}} \right)^\prime } + {\left( {8x} \right)^\prime }.} \] Вынесем постоянные множители за знак производной: \[y'\left( x \right) = 6{\left( {{x^{100}}} \right)^\prime } + 7{\left( {{x^{50}}} \right)^\prime } + 8{\left( x \right)^\prime }.\] Найдем производные степенных функций: \[y'\left( x \right) = 6 \cdot 100{x^{99}} + 7 \cdot 50{x^{49}} + 8 \cdot 1.\] Окончательно получаем \[ {y'\left( x \right) = 600{x^{99}} + 350{x^{49}} + 8 } = {2\left( {300{x^{99}} + 175{x^{49}} + 4} \right).} \]
   Пример 2
Вычислить производную функции \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 5\sqrt 2 \).

Решение.
Производная постоянной величины равна нулю. Следовательно, \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 5\sqrt 2 } \right)^\prime } } = {{\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \right)^\prime } - {\left( {5\sqrt 2 } \right)^\prime } = 0 - 0 = 0.} \]
   Пример 3
Найти производную функции \(y = \large\frac{1}{x}\normalsize + \large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize + \large\frac{3}{{{x^3}}}\normalsize\).

Решение.
Дифференцируем сначала как сумму функций: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{3}{{{x^3}}}} \right)^\prime }.} \] Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, получаем \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } + 2{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } + 3{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{ - 1}}} \right)^\prime } + 2{\left( {{x^{ - 2}}} \right)^\prime } + 3{\left( {{x^{ - 3}}} \right)^\prime } } = { - 1 \cdot {x^{ - 2}} + 2 \cdot \left( { - 2} \right){x^{ - 3}} + 3 \cdot \left( { - 3} \right){x^{ - 4}} } = { - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{4}{{{x^3}}} - \frac{9}{{{x^4}}}.} \]
   Пример 4
Найти производную следующей функции \(y = 8{x^5} - 6{x^4} + 5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 3\).

Решение.
Используя правило дифференцирования полинома, получаем выражение для производной в виде \[ {y'\left( x \right) = {\left( {8{x^5} - 6{x^4} + 5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 3} \right)^\prime } } = {{\left( {8{x^5}} \right)^\prime } - {\left( {6{x^4}} \right)^\prime } + {\left( {5{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {7{x^2}} \right)^\prime } + {\left( {4x} \right)^\prime } + {\left( 3 \right)^\prime } } = {8 \cdot 5{x^4} - 6 \cdot 4{x^3} + 5 \cdot 3{x^2} - 7 \cdot 2x + 4 \cdot 1 + 0 } = {40{x^4} - 24{x^3} + 15{x^2} - 14x + 4.} \]
   Пример 5
Найти производную функции \(y = \large\frac{{{x^2}}}{2}\normalsize + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{{x^4}}}{4}\normalsize\).

Решение.
Производная записывается в виде: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{2}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } + \frac{1}{3}{\left( {{x^3}} \right)^\prime } + \frac{1}{4}{\left( {{x^4}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{2} \cdot 2x + \frac{1}{3} \cdot 3{x^2} + \frac{1}{4} \cdot 4{x^3} } = {x + {x^2} + {x^3} = x\left( {{x^2} + x + 1} \right).} \]
   Пример 6
Найти производную функции \(y = \large\frac{{{x^2}}}{2}\normalsize - \large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize\).

Решение.
Производная имеет следующий вид: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{2}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } - 2{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{2}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } - 2{\left( {{x^{ - 2}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{2} \cdot 2x - 2 \cdot \left( { - 2} \right){x^{ - 3}} } = {x + 4{x^{ - 3}} = x + \frac{4}{{{x^3}}}.} \]
   Пример 7
Вычислить значение производной функции \(y = {x^2} - \large\frac{1}{{2{x^2}}}\normalsize\) в точке \(x = 1\).
Решение.
Производная данной функции имеет вид: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{x^2} - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^2}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^2}} \right)^\prime } - \frac{1}{2}{\left( {{x^{ - 2}}} \right)^\prime } } = {2x - \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2} \right){x^{ - 3}} } = {2x + \frac{1}{{{x^3}}}.} \] Значение производной в точке \(x = 1\) равно: \[y'\left( 1 \right) = 2 \cdot 1 + \frac{1}{{{1^3}}} = 3.\]
   Пример 8
Найти производную функции \(y = \sqrt[\large 3\normalsize]{7}x + \sqrt[\large 7\normalsize]{3}\).

Решение.
Здесь мы имеем дело с линейной функцией, коэффициенты которой являются иррациональными числами. Производная будет равна \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{7}x + \sqrt[\large 7\normalsize]{3}} \right)^\prime } } = {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{7}x} \right)^\prime } + {\left( {\sqrt[\large 7\normalsize]{3}} \right)^\prime } } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{7} \cdot 1 + 0 = \sqrt[\large 3\normalsize]{7}.} \]
   Пример 9
Найти производную функции \(y = \sqrt[\large 4\normalsize]{{{x^3}}}\).

Решение.
Представив данную иррациональную функцию как степенную, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[\large 4\normalsize]{{{x^3}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\large\frac{3}{4}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{3}{4}{x^{\large\frac{3}{4}\normalsize - 1}} } = {\frac{3}{4}{x^{ - \large\frac{1}{4}\normalsize}} } = {\frac{3}{{4\sqrt[\large 4\normalsize]{x}}}.} \]
   Пример 10
Найти производную иррациональной функции \(y = \sqrt[\large m\normalsize]{{{x^n}}}\), где \(m \ne 0\).

Решение.
Дифференцируя как степенную функцию с дробным показателем степени, получаем \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[\large m\normalsize]{{{x^n}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\large\frac{n}{m}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{n}{m}{x^{\large\frac{{n - m}}{m}\normalsize}} } = {\frac{n}{m}{x^{ - \large\frac{{m - n}}{m}\normalsize}} } = {\frac{n}{{m{x^{\large\frac{{m - n}}{m}\normalsize}}}} } = {\frac{n}{{m\sqrt[\large m\normalsize]{{{x^{m - n}}}}}}.} \]
   Пример 11
Вычислить производную функции \(y = \sqrt[\large\pi\normalsize]{{{x^2}}}\).

Решение.
Производная данной степенной функции равна \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[\large\pi\normalsize]{{{x^2}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\large\frac{2}{\pi }\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{2}{\pi }{x^{\large\frac{2}{\pi }\normalsize - 1}} } = {\frac{2}{\pi }{x^{\large\frac{{2 - \pi }}{\pi }\normalsize}} } = {\frac{2}{\pi }{x^{ - \large\frac{{\pi - 2}}{\pi }\normalsize}} } = {\frac{2}{{\pi \sqrt[\large\pi\normalsize]{{{x^{\pi - 2}}}}}}.} \]
   Пример 12
Найти производную следующей функции: \(y = x\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^3} - 3} \right)\).

Решение.
Данную функцию можно представить в виде полинома: \[ {y = x\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^3} - 3} \right) } = {\left( {{x^3} + 2x} \right)\left( {{x^3} - 3} \right) } = {{x^6} + 2{x^4} - 3{x^3} - 6x.} \] Дифференцируя почленно, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{x^6} + 2{x^4} - 3{x^3} - 6x} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^6}} \right)^\prime } + {\left( {2{x^4}} \right)^\prime } - {\left( {3{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {6x} \right)^\prime } } = {6{x^5} + 2 \cdot 4{x^3} - 3 \cdot 3{x^2} - 6 = 6{x^5} + 8{x^3} - 9{x^2} - 6.} \]
   Пример 13
Вычислить производную функции \(y = \sqrt {\large\frac{x}{5}\normalsize} + \sqrt {\large\frac{5}{x}\normalsize} \).

Решение.
Перепишем функцию в виде: \[ {y\left( x \right) = \sqrt {\frac{x}{5}} + \sqrt {\frac{5}{x}} } = {\frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot \sqrt x + \sqrt 5 \cdot \frac{1}{{\sqrt x }}.} \] Используем формулу производной суммы двух функций: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot \sqrt x + \sqrt 5 \cdot \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot \sqrt x } \right)^\prime } + {\left( {\sqrt 5 \cdot \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime }.} \] Вынесем постоянные множители и вычислим производные: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot \sqrt x } \right)^\prime } + {\left( {\sqrt 5 \cdot \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt 5 }}{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } + \sqrt 5 {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt 5 }}{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } + \sqrt 5 {\left( {{x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} + \sqrt 5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right){x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize - 1}} } = {\frac{1}{{2\sqrt 5 \sqrt x }} - \frac{{\sqrt 5 }}{2}{x^{ - \large\frac{3}{2}\normalsize}}. } \] Здесь мы использовали выражение \({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = {\left( {{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^\prime } = \large\frac{1}{2}\normalsize{x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}} = \large\frac{1}{{2\sqrt x }}\normalsize.\) После упрощения получаем \[ {y'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt 5 \sqrt x }} - \frac{{\sqrt 5 }}{2}{x^{ - \large\frac{3}{2}\normalsize}} } = {\frac{1}{{2\sqrt 5 \sqrt x }} - \frac{{\sqrt 5 }}{{2{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{1 \cdot x}}{{2\sqrt 5 \sqrt x \cdot x}} - \frac{{\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }}{{2{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} \cdot \sqrt 5 }} } = {\frac{{x - 5}}{{2\sqrt 5 {x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}} } = {\frac{{x - 5}}{{2\sqrt {5{x^3}} }}.} \]
   Пример 14
Найти производную функции \(y = \sqrt[\large 3\normalsize]{x} - \large\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\normalsize\).

Решение.
Перейдем к записи в степенной форме: \[y = \sqrt[\large 3\normalsize]{x} - \frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}} = {x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} - {x^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}}.\] Производная разности функций, очевидно, равна разности производных этих функций: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} - {x^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } - {\left( {{x^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime }.} \] Вычисляя производные степенных функций, получаем \[ {y'\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize - 1}} - \left( { - \frac{1}{3}} \right){x^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize - 1}} } = {\frac{1}{3}{x^{ - \large\frac{2}{3}\normalsize}} + \frac{1}{3}{x^{ - \large\frac{4}{3}\normalsize}} } = {\frac{1}{3}\left( {{x^{ - \large\frac{2}{3}\normalsize}} + {x^{ - \large\frac{4}{3}\normalsize}}} \right) } = {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{{x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} + \frac{1}{{{x^{\large\frac{4}{3}\normalsize}}}}} \right) } = {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^4}}}}}} \right).} \]
   Пример 15
Найти производную функции \(y = 5{x^3} + 3 - \large\frac{2}{{{x^3}}}\normalsize + \sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^5}}}\).

Решение.
Преобразуем слагаемые данной функции в степенную форму: \[y = 5{x^3} + 3 - 2{x^{ - 3}} + {x^{\large\frac{5}{3}\normalsize}}.\] Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования степенной функции, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {5{x^3} + 3 - 2{x^{ - 3}} + {x^{\large\frac{5}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {{\left( {5{x^3}} \right)^\prime } + 3' - {\left( {2{x^{ - 3}}} \right)^\prime } + {\left( {{x^{\large\frac{5}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {5 \cdot 3{x^2} + 0 - 2 \cdot \left( { - 3} \right){x^{ - 3 - 1}} + \frac{5}{3}{x^{\large\frac{5}{3}\normalsize - 1}} } = {15{x^2} + 6{x^{ - 4}} + \frac{5}{3}{x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} } = {15{x^2} + \frac{6}{{{x^4}}} + \frac{{5\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}}{3}.} \]
   Пример 16
Найти производную функции \(y = \large\frac{1}{x}\normalsize + \large\frac{1}{{\sqrt x }}\normalsize + \large\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\normalsize.\)

Решение.
Представив слагаемые в виде степенных функций, получаем следуюшее выражение для производной: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}} \right)^\prime } } = {- \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{2}{x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize - 1}} - \frac{1}{3}{x^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize - 1}} } = { - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{2}{x^{ - \large\frac{3}{2}\normalsize}} - \frac{1}{3}{x^{ - \large\frac{4}{3}\normalsize}} } = { - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{2\sqrt {{x^3}} }} - \frac{1}{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^4}}}}}.} \]
   Пример 17
Вычислить производную функции \(y = \large\frac{2}{{\sqrt x }}\normalsize + 3\sqrt[\large 3\normalsize]{x}\).

Решение.
По правилу дифференцирования степенной функции находим: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }} + 3\sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)^\prime } } = {{\left( {2{x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}} + 3{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {{\left( {2{x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^\prime } + {\left( {3{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {2{\left( {{x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^\prime } + 3{\left( {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right){x^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize - 1}} + 3 \cdot \frac{1}{3}{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize - 1}} } = { - {x^{ - \large\frac{3}{2}\normalsize}} + {x^{ - \large\frac{2}{3}\normalsize}} } = {\frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}} - \frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}.} \]
   Пример 18
Найти производную иррациональной функции \(y = \sqrt {x\sqrt x } \).

Решение.
Преобразуя функцию к степенной форме, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {x\sqrt x } } \right)^\prime } } = {{\left( {\sqrt {x \cdot {x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}} } \right)^\prime } } = {{\left( {\sqrt {{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} } \right)^\prime } } = {{\left( {{{\left( {{x^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}} \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\large\frac{3}{4}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{3}{4}{x^{\large\frac{3}{4}\normalsize - 1}} } = {\frac{3}{4}{x^{ - \large\frac{1}{4}\normalsize}} } = {\frac{3}{{4\sqrt[\large 4\normalsize]{x}}}.} \]
   Пример 19
Найти производную следующей иррациональной функции \(y = \sqrt[\large 3\normalsize]{{x\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}}\).

Решение.
Аналогично предыдущему примеру, находим: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{x\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{x \cdot {x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^{\large\frac{5}{3}\normalsize}}}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{{\left( {{x^{\large\frac{5}{3}\normalsize}}} \right)}^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\large\frac{5}{3}\normalsize \cdot \large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\large\frac{5}{9}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{5}{9}{x^{\large\frac{5}{9}\normalsize - 1}} } = {\frac{5}{9}{x^{ - \large\frac{4}{9}\normalsize}} } = {\frac{5}{{9\sqrt[\large 9\normalsize]{{{x^4}}}}}.} \]
   Пример 20
Найти производную функции \(y = \large\frac{3}{2}\normalsize x\sqrt[\large 3\normalsize]{x}\).

Решение.
Дифференцируя заданную функцию как степенную, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{2}x\sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{3}{2}x \cdot {x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{3}{2}{\left( {{x^{1 + \large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{3}{2}{\left( {{x^{\large\frac{4}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}{x^{\large\frac{4}{3}\normalsize - 1}} } = {2{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} = 2\sqrt[\large 3\normalsize]{x}.} \]

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.