Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Прогрессии
Первый член арифметической прогрессии: \({a_1}\)
\(N\)-ый член арифметической прогрессии: \({a_n}\)
Разность арифметической прогрессии: \(d\)
Число членов прогрессии: \(n\)
Сумма \(n\) первых членов прогрессии: \({S_n}\)
Первый член геометрической прогрессии: \({b_1}\)
\(N\)-ый член геометрической прогрессии: \({b_n}\)
Знаменатель геометрической прогрессии: \(q\)
Сумма бесконечной геометрической прогрессии: \(S\)
  1. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой (начиная со второго) получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, которое называется разностью арифметической прогрессии.

  2. Арифметическая прогрессия имеет вид:
    \({a_1}\), \({a_1} + d\), \({a_1} + 2d\), \({a_1} + 3d, \ldots\; \),
    где \({a_1}\) − первый член, \(d\) − разность прогрессии.

  3. \(N\)-ый член арифметической прогрессии
    \({a_n} = {a_{n - 1}} + d = {a_{n - 2}} + 2d = {a_{n - 3}} + 3d = \ldots \)

  4. Формула общего (\(n\)-го) члена арифметической прогрессии
    \({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

  5. Арифметическая прогрессия является возрастающей при \(d > 0\) и убывающей при \(d < 0\).
    Если \(d = 0\), то последовательность является стационарной.

  6. Характеристическое свойство арифметической прогрессии
    Любой член арифметической прогрессии равен полусумме (т.е. среднему арифметическому) равноудаленных от него членов:
    \({a_i} = \large\frac{{{a_{i - 1}} + {a_{i + 1}}}}{2}\normalsize = \large\frac{{{a_{i - 2}} + {a_{i + 2}}}}{2}\normalsize = \large\frac{{{a_{i - 3}} + {a_{i + 3}}}}{2}\normalsize = \ldots \)

  7. Сумма любых двух членов, равноудаленных от начала и конца арифметической прогрессии, одинакова:
    \({a_1} + {a_n} = {a_2} + {a_{n - 1}} = \ldots = {a_i} + {a_{n + 1 - i}}\)

  8. Сумма \(n\) первых членов арифметической прогрессии
    \({S_n} = \large\frac{{{a_1} + {a_n}}}{2}\normalsize \cdot n = \large\frac{{2{a_1} + \left( {n - 1} \right)d}}{2}\normalsize \cdot n\)

  9. Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждое из которых (начиная со второго) равно предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

  10. Геометрическая прогрессия имеет вид:
    \({b_1}\), \({b_1}q\), \({b_1}{q^2}\), \({b_1}{q^3}, \ldots\;\),
    где \({b_1}\) − первый член, \(q\) − знаменатель прогрессии.

  11. \(N\)-ый член геометрической прогрессии
    \({b_n} = {b_{n - 1}}q = {b_{n - 2}}{q^2} = {b_{n - 3}}{q^3} = \ldots \)

  12. Формула общего (\(n\)-го) члена геометрической прогрессии
    \({b_n} = {b_1}{q^{n - 1}}\)

  13. Геометрическая прогрессия является возрастающей при \(q > 1\) и \({b_1} > 0\).
    Соответственно, геометрическая прогрессия является убывающей при \(0 < q < 1\) и \({b_1} > 0\).
    Если \({b_1} < 0\), прогрессия будет знакочередующейся.

  14. Характеристическое свойство геометрической прогрессии
    Любой член геометрической прогрессии равен квадратному корню из произведения (т.е. среднему геометрическому) равноудаленных от него членов:
    \({b_i} = \sqrt {{b_{i - 1}} \cdot {b_{i + 1}}} = \sqrt {{b_{i - 2}} \cdot {b_{i + 2}}} = \sqrt {{b_{i - 3}} \cdot {b_{i + 3}}} = \ldots \)

  15. Сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии
    \({S_n} = \large\frac{{{b_n}q - {b_1}}}{{q - 1}}\normalsize = \large\frac{{{b_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\normalsize\)

  16. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
    \(S = \lim\limits_{n \to \infty } {S_n} = \large\frac{{{b_1}}}{{1 - q}}\normalsize\)
    Здесь предполагается, что знаменатель прогрессии удовлетворяет условию \(\left| q \right| < 1\).



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.