Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Приложения производной
Функции: \(f\), \(g\), \(y\)
Аргумент (независимая переменная): \(x\)
Координаты точек: \({x_0}\), \({y_0}\), \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\)
Действительные числа: \(a\), \(b\), \(c\)
Координата объекта: \(s\)
Скорость: \(v\)
Ускорение: \(w\)
Время: \(t\)
  1. Скорость и ускорение
    Пусть функция \(s\left( t \right)\) описывает положение объекта в некоторой системе координат в момент времени \(t\). Тогда первая производная функции \(s\left( t \right)\) является мгновенной скоростью объекта:
    \(v = s^{\,\prime} = f'{\left( t \right)}\)
    Вторая производная функции \(s\left( t \right)\) представляет собой мгновенное ускорение объекта:
    \(w = v^{\,\prime} = s^{\,\prime\prime} = f''{\left( t \right)}\)

  2. Уравнение касательной
    \(y - {y_0} = f^\prime {\left( {x_0} \right)} {\left( x - {x_0}\right)},\)
    где \(\left( {x_0},{y_0} \right)\) − координаты точки касания, \(f^\prime {\left( {x_0} \right)}\) − значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке касания.

    касательная и нормаль к функции

  3. Уравнение нормали  
    \(y - {y_0} = - \large\frac{1}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\normalsize \left( {x - {x_0}} \right),\)

    где \(\left( {x_0},{y_0} \right)\) − координаты точки, в которой проведена нормаль, \(f^\prime {\left( {x_0} \right)}\) − значение производной функции \(f\left( x \right)\) в данной точке.

  4. Возрастание и убывание функции
    Если \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\), то функция возрастает в точке \({x_0}\). На рисунке ниже функция является возрастающей при \(x < {x_1}\) и \(x > {x_2}\).
    Если \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\), то функция убывает в точке \({x_0}\) (интервал \({x_1} < x < {x_2}\)).
    Если \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) или производная не существует, то данный признак не позволяет определить характер монотонности функции в точке \({x_0}\).

    функция с участками монотонности разного знака

  5. Локальные экстремумы функции
    Функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный максимум в точке \({x_1}\), если существует такая окрестность точки \({x_1}\), что для всех \(x\) из этой окрестности выполняется неравенство \(f\left( {{x_1}} \right) \ge f\left( x \right)\).
    Аналогично, функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный минимум в точке \({x_2}\), если существует такая окрестность точки \({x_2}\), что для всех \(x\) из этой окрестности выполняется неравенство \(f\left( {{x_2}} \right) \le f\left( x \right)\).

  6. Критические точки
    Точка \({x_0}\) является критической точкой функции \(f\left( x \right)\), если производная \(f'\left( {x_0} \right)\) в ней равна нулю или не существует.

  7. Первый достаточный признак существования экстремума
    Если функция \(f\left( x \right)\) возрастает (\(f'\left( x \right) > 0\)) для всех \(x\) в некотором интервале \(\left( {a,{x_1}} \right]\) и убывает (\(f'\left( x \right) < 0\)) для всех \(x\) в интервале \(\left[ {{x_1},b} \right)\), то функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный максимум в точке \({x_1}\).
    Аналогично, если функция \(f\left( x \right)\) убывает (\(f'\left( x \right) < 0\)) для всех \(x\) из интервала \(\left( {a,{x_2}} \right]\) и возрастает (\(f'\left( x \right) > 0\)) для всех \(x\) из интервала \(\left[ {{x_2},b} \right)\), то функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный минимум в точке \({x_2}\).

  8. Второй достаточный признак существования экстремума
    Если \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0\) и \(f''\left( {{x_1}} \right) < 0\), то функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный максимум в точке \({x_1}\).
    Если \(f'\left( {{x_2}} \right) = 0\) и \(f''\left( {{x_2}} \right) > 0\), то функция \(f\left( x \right)\) имеет локальный минимум в точке \({x_2}\).

  9. Выпуклость функции
    Функция \(f\left( x \right)\) является выпуклой вверх (или вогнутой) в точке \({x_0}\), если производная \(f'\left( x \right)\) в этой точке убывает (промежуток \(x < {x_3}\) на приведенном выше рисунке).
    Аналогично, функция \(f\left( x \right)\) является выпуклой вниз (или просто выпуклой) в точке \({x_0}\), если производная \(f'\left( x \right)\) в этой точке возрастает (промежуток \(x > {x_3}\)).

  10. Достаточные условия выпуклости функции вверх и вниз
    Если \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\), то функция \(f\left( x \right)\) выпукла вниз в точке \({x_0}\).
    Если \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\), то функция \(f\left( x \right)\) выпукла вверх в точке \({x_0}\).
    Если \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) или производная не существует в точке \({x_0}\), то данный признак не позволяет определить характер выпуклости функции в этой точке.

  11. Точка перегиба
    Если первая производная \(f'\left( {x_3} \right)\) существует в точке \({x_3}\), а вторая производная \(f''\left( {x_3} \right)\) меняет знак при переходе через \(x = {x_3}\), то точка \(\left( {{x_3},f\left( {{x_3}} \right)} \right)\) называется точкой перегиба графика функции \(f\left( x \right)\). Если вторая производная \(f''\left( {x_3} \right)\) существует в точке перегиба, то она равна нулю: \(f''\left( {x_3} \right) = 0\).

  12. Правило Лопиталя  
    \(\lim\limits_{x \to c} \large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize = \lim\limits_{x \to c} \large\frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}\normalsize,\;\text {если}\;\lim\limits_{x \to c} f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to c} g\left( x \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ \infty \end{array}} \right..\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.