Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Пределы функций
Функции: \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\)
Аргумент (независимая переменная): \(x\)
Действительные постоянные числа: \(a\), \(k\), \(L\), \(\varepsilon\), \(\delta\)
  1. Функция \(f\left( x \right)\) имеет предел \(L\) при \(x\), стремящемся к \(a\), если для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует положительное число \(\delta\), такое, что при условии \(0 < \left| {x - a} \right| < \delta \) функция \(f\left( x \right)\) определена и удовлетворяет неравенству \(\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \). Предел функции обозначается в виде
    \(\lim\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\).

    Рассмотрим далее свойства пределов.

  2. Предел постоянной величины равен самой этой величине:
    \(\lim\limits_{x \to a} C = C\)

  3. Предел суммы функций равен сумме их пределов (при условии, что эти пределы существуют. Данное замечание относится и другим формулам, приведенным ниже):
    \(\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)\)

  4. Предел разности функций равен разности пределов:
    \(\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) - \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)\)

  5. Предел произведения функций равен произведению их пределов:
    \(\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) \cdot \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)\)

  6. Предел частного двух функций равен отношению пределов, если предел в знаменателе не равен нулю:
    \(\lim\limits_{x \to a} \large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize = \large\frac{{\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)}}\normalsize,\;\text{если}\;\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right) \ne 0.\)

  7. Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
    \(\lim\limits_{x \to a} \left[ {kf\left( x \right)} \right] = k\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)\)

  8. Предел сложной функции
    \(\lim\limits_{x \to a} f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)} \right)\)

  9. Предел непрерывной функции
    Если функция \(f{\left( x \right)}\) является непрерывной при \(x=a\), то
    \(\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).

  10. Первый замечательный предел  
    \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize = 1\)

  11. \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\tan x}}{x}\normalsize = 1\) 

  12. \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\arcsin x}}{x}\normalsize = 1\) 

  13. \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\arctan x}}{x}\normalsize = 1\) 

  14. \(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\ln\left( {1 + x} \right)}}{x}\normalsize = 1\) 

  15. Второй замечательный предел  
    \(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{1}{x}}\normalsize \right)^x} = e\)

  16. \(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{k}{x}}\normalsize \right)^x} = e^k\) 

  17. \(\lim\limits_{x \to 0} {a^x} = 1\)  



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.