Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Правильные многогранники
Ребро правильного многогранника: \(a\)
Объем многогранника: \(V\)
Площадь поверхности: \(S\)
Радиус вписанной сферы: \(r\)
Радиус описанной сферы: \(R\)
  1. Многогранником называется объемная выпуклая фигура с плоскими гранями и прямыми ребрами. Если грани представляют собой одинаковые правильные многоугольники, то такой многогранник является правильным. Правильные многогранники известны с давних времен. Так, на территории Шотландии найдены каменные фигуры правильных многогранников, возраст которых достигает \(4000\) лет! Позже древнегреческий философ и математик Платон (\(428/427 \text{ BC}\) - \(348/347 \text{ BC}\)) подробно описал правильные многогранники, выделив \(5\) возможных типов (их называют также платоновыми телами). К правильным многогранникам относятся следующие тела: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

  2. Основные свойства платоновых тел

    ТелоЧисло вершинЧисло реберЧисло граней
    Тетраэдр\(4\)\(6\)\(4\)
    Куб\(8\)\(12\)\(6\)
    Октаэдр\(6\)\(12\)\(8\)
    Икосаэдр\(12\)\(30\)\(20\)
    Додекаэдр\(20\)\(30\)\(12\)

  3. Октаэдр − правильный многогранник с \(8\) гранями в форме треугольников.

    октаэдр

  4. Радиус сферы, вписанной в октаэдр  
    \(r = \large\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\normalsize\)

  5. Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра  
    \(R = \large\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\normalsize\)

  6. Площадь поверхности октаэдра  
    \(S = 2{a^2}\sqrt 3 \)

  7. Объем октаэдра  
    \(V = \large\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\normalsize\)

  8. Икосаэдр − правильный многогранник с \(20\) гранями, имеющих форму треугольника.

    икосаэдр

  9. Радиус сферы, вписанной в икосаэдр  
    \(r = \large\frac{{a\sqrt 3 \left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{12}}\normalsize\)

  10. Радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра  
    \(R = \large\frac{a}{4}\normalsize\sqrt {2\left( {5 + \sqrt 5 } \right)} \)

  11. Площадь поверхности икосаэдра  
    \(S = 5{a^2}\sqrt 3 \)

  12. Объем икосаэдра  
    \(V = \large\frac{{5{a^3}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{12}}\normalsize\)

  13. Додекаэдр − правильный многогранник с \(12\) гранями, каждая из которых имеет форму правильного пятиугольника.

    додекаэдр

  14. Радиус сферы, вписанной в додекаэдр  
    \(r = \large\frac{a}{2}\normalsize\sqrt {10\left( {25 + 11\sqrt 5 } \right)} \)

  15. Радиус сферы, описанной вокруг додекаэдра  
    \(R = \large\frac{{a\sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{4}\normalsize\)

  16. Площадь поверхности додекаэдра  
    \(S = 3{a^2}\sqrt {5\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)} \)

  17. Объем додекаэдра  
    \(V = \large\frac{{{a^3}\left( {15 + 7\sqrt 5 } \right)}}{4}\normalsize\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.