Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Поверхности второго порядка
Координаты точек поверхности: \(x\), \(y\), \(z\), \({x_1}\), \({y_1}\), \({z_1}\), \(\ldots\)
Действительные числа: \(A\), \(B\), \(C\), \(\ldots\), \(a\), \(b\), \(c\), \({k_1}\), \({k_2}\), \({k_3}\)
Инварианты поверхности: \(e\), \(E\), \(\Delta\)
Радиус сферы: \(R\)
Координаты центра сферы: \(\left( {a,b,c} \right)\)
  1. Общее уравнение поверхности второго порядка
    \(A{x^2} + B{y^2} + C{z^2} + 2Fyz + 2Gzx + 2Hxy + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,\)
    где \(x\), \(y\), \(z\) − координаты точек поверхности, \(A\), \(B\), \(C\), \(\ldots\) − действительные числа.

  2. Классификация поверхностей второго порядка
    Данная классификация основана на рассмотрении инвариантов поверхностей второго порядка. Инварианты представляют собой специальные выражения, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при параллельном переносе или повороте системы координат. Всего можно выделить \(17\) различных канонических видов поверхностей.

    #Ранг (\(e\))Ранг (\(E\))\(\Delta\)Знаки \(k\)Вид поверхности
    \(1\)\(3\)\(4\)\(< 0\)ОдинаковыеЭллипсоид
    \(2\)\(3\)\(4\)\(> 0\)ОдинаковыеМнимый эллипсоид
    \(3\)\(3\)\(4\)\(> 0\)РазныеОднополостный гиперболоид
    \(4\)\(3\)\(4\)\(< 0\)РазныеДвуполостный гиперболоид
    \(5\)\(3\)\(3\)РазныеКоническая поверхность
    \(6\)\(3\)\(3\)ОдинаковыеМнимая коническая поверхность
    \(7\)\(2\)\(4\)\(< 0\)ОдинаковыеЭллиптический параболоид
    \(8\)\(2\)\(4\)\(> 0\)РазныеГиперболический параболоид
    \(9\)\(2\)\(3\)ОдинаковыеЭллиптический цилиндр
    \(10\)\(2\)\(3\)ОдинаковыеМнимый эллиптический цилиндр
    \(11\)\(2\)\(3\)РазныеГиперболический цилиндр
    \(12\)\(2\)\(2\)РазныеПересекающиеся плоскости
    \(13\)\(2\)\(2\)ОдинаковыеМнимые пересекающиеся плоскости
    \(14\)\(1\)\(3\)Параболический цилиндр
    \(15\)\(1\)\(2\)Параллельные плоскости
    \(16\)\(1\)\(2\)Мнимые параллельные плоскости
    \(17\)\(1\)\(1\)Совпадающие плоскости

    В качестве инвариантов используются ранги матриц \(e\) и \(E\), определитель матрицы \(E\) и знаки корней характеристического уравнения для матрицы \(e\). Указанные матрицы имеют вид:

    \(e = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&H&G\\ H&B&F\\ G&F&C \end{array}} \right),\)   \(E = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&H&Q&P\\ H&B&F&Q\\ G&F&C&R\\ P&Q&R&D \end{array}} \right),\)   \(\Delta = \det \left( E \right),\)

    а корни \({k_1}\), \({k_2}\), \({k_3}\) находятся из решения уравнения
    \(\;\\ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {A - k}&H&G\\ H&{B - k}&F\\ G&F&{C - k} \end{array}} \right| = 0.\)

  3. Эллипсоид (#\(1\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize + \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = 1\)

    действительный эллипсоид

  4. Мнимый эллипсоид (#\(2\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize + \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = -1\)

  5. Однополостный гиперболоид (#\(3\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = 1\)

    однополостный гиперболоид

  6. Двуполостный гиперболоид (#\(4\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = -1\)

    двуполостный гиперболоид

  7. Коническая поверхность (#\(5\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = 0\)

    коническая поверхность

  8. Мнимая коническая поверхность (#\(6\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize + \large\frac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\normalsize = 0\)

  9. Эллиптический параболоид (#\(7\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - z = 0\)

    эллиптический параболоид

  10. Гиперболический параболоид (#\(8\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize - z = 0\)

    гиперболический параболоид

  11. Эллиптический цилиндр (#\(9\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1\)

    эллиптический цилиндр

  12. Мнимый эллиптический цилиндр (#\(10\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = -1\)

  13. Гиперболический цилиндр (#\(11\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 1\)

    гиперболический цилиндр

  14. Пересекающиеся плоскости (#\(12\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 0\)

  15. Мнимые пересекающиеся плоскости (#\(13\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize + \large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize = 0\)

  16. Параболический цилиндр (#\(14\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize - y = 0\)

    параболический цилиндр

  17. Параллельные плоскости (#\(15\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize = 1\)

  18. Мнимые параллельные плоскости (#\(16\))
    \(\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize = -1\)

  19. Совпадающие плоскости (#\(17\))
    \({x^2} = 0\)

  20. Уравнение сферы с центром в начале координат
    Сфера является частным случаем эллипсоида, когда все его полуоси одинаковы (и равны радиусу сферы). Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом \(R\) выражается формулой
    \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}.\)

    каноническое уравнение сферы

  21. Уравнение сферы с центром в произвольной точке
    \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2},\)
    где \(\left( {a,b,c} \right)\) − координаты центра сферы.

  22. Уравнение сферы по заданным концам диаметра
    \(\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) + \left( {y - {y_1}} \right)\left( {y - {y_2}} \right) + \left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0,\)
    где \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \({P_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) − конечные точки диаметра.

  23. Уравнение сферы по четырем точкам  
    \(\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + {y^2} + {z^2}}&x&y&z&1\\ {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}&{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}&1\\ {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}&{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}&1\\ {x_3^2 + y_3^2 + z_3^2}&{{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}}&1\\ {x_4^2 + y_4^2 + z_4^2}&{{x_4}}&{{y_4}}&{{z_4}}&1 \end{array}} \right| = 0.\\\)
    Точки \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \({P_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\), \({P_3}\left( {{x_3},{y_3},{z_3}} \right)\), \({P_4}\left( {{x_4},{y_4},{z_4}} \right)\) принадлежат данной сфере.

  24. Общее уравнение сферы
    \(A{x^2} + A{y^2} + A{z^2} + Dx + Ey + Fz + M = 0,\;\;\left( {A \ne 0} \right)\)
    Центр сферы имеет координаты \(\left( {a,b,c} \right)\), где
    \(a = - \large\frac{D}{{2A}}\normalsize,\;\;b = - \large\frac{E}{{2A}}\normalsize,\;\;c = - \large\frac{F}{{2A}}\normalsize.\)
    Радиус сферы равен
    \(R = \large\frac{{\sqrt {{D^2} + {E^2} + {F^2} - 4{A^2}M} }}{{2A}}\normalsize\).



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.