Math24.ru
Формулы и Таблицы
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Плоскость
Координаты точек: \(x\), \(y\), \(z\), \({x_0}\), \({y_0}\), \({z_0}\), \({x_1}\), \({y_1}\), \({z_1},\ldots\)
Действительные числа: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \({A_1}\), \({B_1}\), \(\ldots\), \(a\), \(b\), \(c\), \({a_1}\), \({b_1}\), \(\ldots\), \(\lambda\), \(p\), \(t\), \(s\), \(\ldots\)
Векторы нормали: \(\mathbf{n}\), \(\mathbf{n_1}\), \(\mathbf{n_2}\)
Направляющие косинусы: \(\cos\alpha\), \(\cos\beta\), \(\cos\gamma\)
Расстояние от точки до плоскости: \(d\)
  1. Общее уравнение плоскости в прямоугольной системе координат определяется линейным уравнением
    \(Ax + By + Cz + D =0.\)

  2. Координаты нормального вектора \(\mathbf{n}\left( {A,B,C} \right)\) к плоскости представляют собой коэффициенты в общем уравнении этой плоскости
    \(Ax + By + Cz + D =0.\)

    нормальный вектор к плоскости

  3. Частные случаи уравнения плоскости  
    \(Ax + By + Cz + D =0\)

    Если \(A = 0\), то плоскость параллельна оси \(Ox\);
    Если \(B = 0\), то плоскость параллельна оси \(Oy\);
    Если \(C = 0\), то плоскость параллельна оси \(Oz\);
    Если \(D = 0\), то плоскость проходит через начало координат.

    Если \(A = B = 0\), то плоскость параллельна плоскости \(Oxy\);
    Если \(B = C = 0\), то плоскость параллельна плоскости \(Oyz\);
    Если \(A = C = 0\), то плоскость параллельна плоскости \(Oxz\).

  4. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
    \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\),
    где точка \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) принадлежит плоскости, а вектор \(\mathbf{n}\left( {A,B,C} \right)\) является вектором нормали.

    уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

  5. Уравнение плоскости в отрезках
    \(\large\frac{x}{a}\normalsize + \large\frac{y}{b}\normalsize + \large\frac{z}{c}\normalsize = 1\),
    где \(a\), \(b\), \(c\) − отрезки, отсекаемые плоскостью, соответственно, на координатных осях \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\).

    уравнение плоскости в отрезках

  6. Уравнение плоскости по трем точкам
    \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_3}} & {y - {y_3}} & {z - {z_3}}\\ {{x_1} - {x_3}} & {{y_1} - {y_3}} & {{z_1} - {z_3}}\\ {{x_2} - {x_3}} & {{y_2} - {y_3}} & {{z_2} - {z_3}} \end{array}} \right| = 0\)  или  \(\left| {\begin{array}{*{20}{l}} x & y & z & 1\\ {{x_1}} & {{y_1}} & {{z_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & {{z_2}} & 1\\ {{x_3}} & {{y_3}} & {{z_3}} & 1 \end{array}} \right| = 0,\\\)
    где точки \(A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\), \(C\left( {{x_3},{y_3},{z_3}} \right)\) лежат в данной плоскости.

    уравнение плоскости по трем точкам

  7. Нормальное уравнение плоскости
    \(x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0\)
    Здесь \(p\) представляет собой расстояние от начала координат до плоскости, а \(\cos \alpha\), \(\cos \beta\), \(\cos \gamma\) являются направляющими косинусами любой прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

    нормальное уравнение плоскости

  8. Параметрическое уравнение плоскости
    \( \left\{ \begin{aligned} x &= {x_1} + {a_1}s + {a_2}t \\ y &= {y_1} + {b_1}s + {b_2}t \\ z &= {z_1} + {c_1}s + {c_2}t \end{aligned} \right.,\\\)
    где \(\left( {x,y,z} \right)\) − координаты произвольной точки плоскости, точка \(P\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) лежит в этой плоскости, и векторы \(\mathbf{u}\left( {{a_1},{b_1},{c_1}} \right)\), \(\mathbf{v}\left( {{a_2},{b_2},{c_2}} \right)\) параллельны ей.

    плоскость, заданная в параметрической форме

  9. Двугранный угол между плоскостями
    Пусть две плоскости заданы уравнениями
    \({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\),
    \({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\).
    Тогда двугранный угол между ними выражается формулой
    \(\cos \varphi = \large\frac{{{\mathbf{n_1}} \cdot {\mathbf{n_2}}}}{{\left| {{\mathbf{n_1}}} \right| \cdot \left| {{\mathbf{n_2}}} \right|}}\normalsize = \large\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\normalsize.\)

    двугранный угол между плоскостями

  10. Параллельные плоскости
    Две плоскости \({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) и \({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) параллельны, если
    \(\large\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}\normalsize = \large\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\normalsize = \large\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\normalsize.\)

  11. Перпендикулярные плоскости
    Две плоскости \({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) и \({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) перпендикулярны, если
    \({A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0.\)

  12. Уравнение плоскости по точке и двум векторам
    Плоскость, проходящая через точку \(P\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) и параллельная двум неколлинеарным векторам \(\mathbf{u}\left( {{a_1},{b_1},{c_1}} \right)\) и \(\mathbf{v}\left( {{a_2},{b_2},{c_2}} \right)\), определяется уравнением
    \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_1}} & {y - {y_1}} & {z - {z_1}}\\ {{a_1}} & {{b_1}} & {{c_1}}\\ {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}} \end{array}} \right| = 0.\)

    уравнение плоскости по точке и двум векторам

  13. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору
    Плоскость, проходящая через точки \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) и \({P_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) и параллельная вектору \(\mathbf{u}\left( {a,b,c} \right)\), описывается уравнением
    \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_1}} & {y - {y_1}} & {z - {z_1}}\\ {{x_2} - {x_1}} & {{y_2} - {y_1}} & {{z_2} - {z_1}}\\ a & b & c \end{array}} \right| = 0.\)

    уравнение плоскости по двум точкам и вектору

  14. Расстояние от точки до плоскости
    Расстояние от точки \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) определяется формулой
    \(d = \left| {\large\frac{{A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\normalsize} \right|.\)

    расстояние от точки до плоскости

  15. Пересечение двух плоскостей
    Если две плоскости \({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) и \({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) пересекаются, то прямая, являющаяся их пересечением, описывается уравнениями
    \( \left\{ \begin{aligned} x &= {x_1} + at \\ y &= {y_1} + bt \\ z &= {z_1} + ct \end{aligned} \right.\)  или  \(\large\frac{{x - {x_1}}}{a}\normalsize = \large\frac{{y - {y_1}}}{b}\normalsize = \large\frac{{z - {z_1}}}{c}\normalsize,\\[17pt]\)
    где \(a = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_1}} & {{C_1}}\\ {{B_2}} & {{C_2}} \end{array}} \right|,\;\;b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_1}} & {{A_1}}\\ {{C_2}} & {{A_2}} \end{array}} \right|,\;\;c = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}} & {{B_1}}\\ {{A_2}} & {{B_2}} \end{array}} \right|,\\[11pt]\)
    \({x_1} = \large\frac{{b\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{C_1}}\\ {{D_2}}&{{C_2}} \end{array}} \right| - c\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{B_1}}\\ {{D_2}}&{{B_2}} \end{array}} \right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\normalsize,\;\;{y_1} = \large\frac{{c\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{A_1}}\\ {{D_2}}&{{A_2}} \end{array}} \right| - a\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{C_1}}\\ {{D_2}}&{{C_2}} \end{array}} \right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\normalsize,\;\;{z_1} = \large\frac{{a\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{B_1}}\\ {{D_2}}&{{B_2}} \end{array}} \right| - b\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{A_1}}\\ {{D_2}}&{{A_2}} \end{array}} \right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\normalsize.\)



Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.