Math24.ru
Дифференциальные Уравнения
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
Powered by MathJax
   Особые решения дифференциальных уравнений
Определение особого решения
Функция \(\varphi \left( x \right)\) называется особым решением дифференциального уравнения \(F\left( {x,y,y'} \right) = 0,\) если единственность решения нарушается в каждой точке этой функции в области определения дифференциального уравнения. Геометрически это означает, что через каждую соответствующую точку \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) проходит более одной интегральной кривой с общей касательной.

Примечание: Иногда используется более слабое определение особого решения, когда единственность решения нарушается лишь в некоторых точках.

Особое решение дифференциального уравнения не описывается общим интегралом. Поэтому, оно не выводится из общего решения ни при каком значении постоянной \(C.\) Это можно проиллюстрировать следующим примером:

Пусть требуется решить уравнение \({\left( {y'} \right)^2} - 4y = 0.\) Видно, что общее решение данного уравнения описывается функцией \(y = {\left( {x + C} \right)^2}.\) Графически общее решение представляется в виде семейства парабол (Рисунок \(1\)).
Рис.1
Кроме этого, функция \(y = 0\) также удовлетворяет дифференциальному уравнению. Однако эта функция не содержится в общем решении! Поскольку через каждую точку прямой \(y = 0\) проходит более одной интегральной кривой, то единственность решения на этой прямой нарушается, и, следовательно, данная прямая является особым решением дифференциального уравнения.
\(p\)-дискриминант
Одним из способов нахождения особого решения является исследование так называемого \(p\)-дискриминанта дифференциального уравнения. Если функция \(F\left( {x,y,y'} \right)\) и ее частные производные \({\large\frac{{\partial F}}{{\partial y}}\normalsize}, {\large\frac{{\partial F}}{{\partial y'}}\normalsize}\) непрерывны в области определения дифференциального уравнения, то особое решение находится из системы уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} F\left( {x,y,y'} \right) = 0\\ \frac{{\partial F\left( {x,y,y'} \right)}}{{\partial y'}} = 0 \end{array} \right..\] Уравнение \(\psi \left( {x,y} \right) = 0,\) которое получается при решении данной системы, называется \(p\)-дискриминантом дифференциального уравнения. Соответствующая кривая, определенная этим уравнением, называется \(p\)-дискриминантной кривой.

После нахождения \(p\)-дискриминантной кривой необходимо проверить следующее:
  1. Является ли \(p\)-дискриминант решением дифференциального уравнения?

  2. Является ли \(p\)-дискриминант особым решением, то есть существуют ли другие интегральные кривые дифференциального уравнения, которые касаются \(p\)-дискриминантной кривой в каждой точке?

Это можно сделать следующим образом:
  • Сначала нужно найти общее решение дифференциального уравнения (обозначим его как \({y_1}\));

  • Затем нужно записать условия касания кривой особого решения (обозначим его как \({y_2}\)) и семейства интегральных кривых общего решения \({y_1}\) в произвольной точке \({x_0}:\) \[\left\{ \begin{array}{l} {y_1}\left( {{x_0}} \right) = {y_2}\left( {{x_0}} \right)\\ {y'_1}\left( {{x_0}} \right) = {y'_2} \left( {{x_0}} \right) \end{array} \right.;\]

Если данная система имеет решение в произвольной точке \({x_0},\) то функция \({y_2}\) будет являться особым решением. Особое решение обычно соответствует огибающей семейства интегральных кривых общего решения дифференциального уравнения.
Огибающая семейства интегральных кривых и \(C\)-дискриминант
Другой способ нахождения особого решения в виде огибающей семейства интегральных кривых основан на использовании \(C\)-дискриминанта.

Пусть \(\Phi \left( {x,y,C} \right)\) является общим решением дифференциального уравнения \(F\left( {x,y,y'} \right) = 0.\) Графически уравнение \(\Phi \left( {x,y,C} \right) = 0\) соответствует семейству интегральных кривых на плоскости \(xy.\) Если функция \(\Phi \left( {x,y,C} \right)\) и ее частные производные непрерывны, то огибающая семейства интегральных кривых общего решения определяется системой уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} \Phi \left( {x,y,C} \right) = 0\\ \frac{{\partial \Phi \left( {x,y,C} \right)}}{{\partial C}} = 0 \end{array} \right..\] Чтобы убедиться, что решение данной системы уравнений действительно является огибающей, можно воспользоваться методом, рассмотренным в предыдущем пункте.
Общий алгоритм нахождения особых точек
Более общий способ нахождения особых точек дифференциального уравнения основан на одновременном использовании \(p\)-дискриминанта и \(C\)-дискриминанта.

Сначала мы определяем уравнения \(p\)-дискриминанта и \(C\)-дискриминанта:
  • \({\psi_p}\left( {x,y} \right) = 0\) − уравнение \(p\)-дискриминанта;

  • \({\psi_C}\left( {x,y} \right) = 0\) − уравнение \(C\)-дискриминанта.

Оказывается, что эти уравнения имеют определенную структуру. В общем случае, уравнение \(p\)-дискриминанта представляется в виде произведения трех функций: \[{\psi _p}\left( {x,y} \right) = E \times {T^2} \times C = 0,\] где \(E\) означает уравнение огибающей, \(T\) − уравнение точек прикосновения и \(C\) − уравнение точек заострения.

Аналогично, уравнение \(C\)-дискриминанта также раскладывается на произведение трех функций: \[{\psi _C}\left( {x,y} \right) = E \times {N^2} \times {C^3} = 0,\] где \(E\) − уравнение огибающей, \(N\) − уравнение узловых точек, а \(C\) − уравнение точек заострения.

Здесь мы имеем дело с новыми типами особых точек: \(C\) - точки заострения, \(T\) - точки прикосновения и \(N\) - узловые точки. Их вид в плоскости \(xy\) схематически представлен на рисунках \(2-4.\)
точки заострения
точки прикосновения
Рис.2
Рис.3
узловые точки
Рис.4
Рис.5
Три типа особых точек из четырех, а именно: точки заострения, точки прикосновения и узловые точки, − являются внешними, то есть они не удовлетворяют дифференциальному уравнению и, поэтому, не являются особыми решениями дифференциального уравнения. Только уравнение огибающей будет являться особым решением. Поскольку огибающая входит в уравнения обоих дискриминантов в виде множителя в первой степени, то ее уравнение легко определяется из данной системы.

   Пример 1
Найти особые решения уравнения \(1 + {\left( {y'} \right)^2} = {\large\frac{1}{{{y^2}}}\normalsize}.\)

Решение.
Будем использовать \(p\)-дискриминант для исследования особых точек. Дифференцируя заданное уравнение по производной \(y',\) получаем: \[2y' = 0,\;\; \Rightarrow y' = 0.\] Подставляя это в дифференциальное уравнение, находим уравнение \(p\)-дискриминанта: \[1 + 0 = \frac{1}{{{y^2}}}.\] Отсюда следует, что уравнение \(p\)-дискриминанта описывает две горизонтальных прямые: \(y = \pm 1.\) Легко проверить, что это решение удовлетворяет дифференциальному уравнению: \[ {y = \pm 1,\;\; \Rightarrow y' = 0,}\;\; {\Rightarrow 1 + {0^2} = \frac{1}{{{1^2}}},}\;\; {\Rightarrow 1 = 1.} \] Теперь определим общее решение дифференциального уравнения. Мы можем записать его в следующей форме: \[ {{\left( {y'} \right)^2} = \frac{1}{{{y^2}}} - 1 = \frac{{1 - {y^2}}}{{{y^2}}},}\;\; {\Rightarrow y' = \pm \frac{{\sqrt {1 - {y^2}} }}{y},}\;\; {\Rightarrow \frac{{ydy}}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} = \pm dx.} \] Сделаем замену: \[ {1 - {y^2} = t,\;\; \Rightarrow - 2ydy = dt,}\;\; {\Rightarrow ydy = - \frac{{dt}}{2}.} \] В результате имеем: \[\frac{{\left( { - \frac{{dt}}{2}} \right)}}{{\sqrt t }} = \pm dx.\] После интегрирования получаем общее решение дифференциального уравнения: \[ {\int {\frac{{dt}}{{2\sqrt t }}} = \pm \int {dx} ,}\;\; {\Rightarrow \sqrt t = \pm x + C,}\;\; {\Rightarrow \sqrt {1 - {y^2}} = \pm \left( {x + C} \right),} \] где \(C\) − произвольная постоянная.

Последнее выражение можно записать в следующем виде: \[{\left( {x + C} \right)^2} + {y^2} = 1.\] Это уравнение описывает семейство окружностей радиусом \(1,\) заполняющих полосу \(-1 \le y \le 1\) (рисунок \(5\)). Как видно из рисунка, прямые линии \(p\)-дискриминанта \(y = \pm 1\) являются огибающими для данного семейства окружностей. Однако необходимо формально проверить, что на этих прямых нарушается единственность решения.

Возьмем произвольную точку \({x_0}.\) Запишем условие касания двух интегральных кривых в этой точке: \[ \left\{ \begin{array}{l} {y_1}\left( {{x_0}} \right) = {y_2}\left( {{x_0}} \right)\\ {y'_1}\left( {{x_0}} \right) = {y'_2} \left( {{x_0}} \right) \end{array} \right.. \] Здесь через \({y_1}\left( x \right)\) обозначено общее решение, которое для верхней полуокружности имеет вид: \[{y_1}\left( x \right) = \sqrt {1 - {{\left( {x + C} \right)}^2}} .\] Функция \({y_2}\left( x \right)\) соответствует горизонтальной прямой \(y = 1.\) Обе кривые будут соприкасаться в точке \({x_0},\) если выполняются следующие условия: \[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {1 - {{\left( {{x_0} + C} \right)}^2}} = 1\\ \frac{{ - {x_0} - C}}{{\sqrt {1 - {x_0} + C} }} = 0 \end{array} \right..\] Эти условия будут удовлетворяться, если положить \(C = - {x_0}.\)

Таким образом, мы доказали, что в каждой точке \({x_0}\) прямой линии \(y = 1\) существует касательная окружность с параметром \(C = - {x_0}.\) Следовательно, единственность решения нарушается в каждой точке прямой линии. Поэтому, прямая \(y = 1\) является особым решением заданного дифференциального уравнения. Аналогично можно доказать, что прямая \(y = -1\) также будет являться особым решением.

   Пример 2
Найти особое решение дифференциального уравнения \(y = {\left( {y'} \right)^2} - 3xy' + 3{x^2}.\) Общее решение данного уравнения известно и определяется функцией \(y = Cx + {C^2} + {x^2}.\)

Решение.
Будем использовать \(С\)-дискриминант для нахождения особого решения. Поскольку общее решение дифференциального уравнения известно, то можно записать: \[\Phi \left( {x,y,C} \right) = y - Cx - {C^2} - {x^2}.\] Частная производная по \(C\) имеет вид: \[\frac{{\partial \Phi \left( {x,y,C} \right)}}{{\partial C}} = - x - 2C.\] В результате получаем следующую систему уравнений: \[\left\{ \begin{array}{l} y = Cx - {C^2} - {x^2}\\ - x - 2C = 0 \end{array} \right..\] Из второго уравнения следует, что \(C = - \large\frac{x}{2}\normalsize.\) Подставляя это в первое уравнение, находим \(C\)-дискриминантную кривую, которая является параболой: \[ {y = \left( { - \frac{x}{2}} \right) \cdot x - {\left( { - \frac{x}{2}} \right)^2} - {x^2} } = {\frac{3}{4}{x^2}.} \] Убедимся, что эта функция действительно будет одним из решений исходного дифференциального уравнения: \[ {y = \frac{3}{4}{x^2},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{3}{2}x,}\;\; {\Rightarrow \frac{3}{4}{x^2} = {\left( {\frac{3}{2}x} \right)^2} - 3x \cdot \frac{3}{2}x + 3{x^2},}\;\; {\Rightarrow \frac{3}{4}{x^2} = \frac{9}{4}{x^2} - \frac{9}{2}{x^2} + 3{x^2},}\;\; {\Rightarrow \frac{3}{4}{x^2} = \frac{3}{4}{x^2}.} \] Теперь проверим, что на этой кривой нарушается единственность решения. Обозначим \[{y_1} = Cx + {C^2} + {x^2},\;\;{y_2} = \frac{3}{4}{x^2}.\] Запишем условия касания двух кривых в некоторой произвольной точке \({x_0}:\) \[ \left\{ \begin{array}{l} {y_1}\left( {{x_0}} \right) = {y_2}\left( {{x_0}} \right)\\ {y'_1}\left( {{x_0}} \right) = {y'_2} \left( {{x_0}} \right) \end{array} \right.. \] В результате имеем: \[\left\{ \begin{array}{l} C{x_0} + {C^2} + x_0^2 = \frac{3}{4}x_0^2\\ C + 2{x_0} = \frac{3}{2}{x_0} \end{array} \right..\] Данная система уравнений совместна, если постоянная \(C\) в каждой точке \({x_0}\) равна \[C = - \frac{{{x_0}}}{2}.\] Таким образом, мы доказали, что \(C\)-дискриминантная кривая \(y = {\large\frac{3}{4}\normalsize}{x^2}\) является огибающей (т.е. особым решением) для семейства парабол \(y = Cx + {C^2} + {x^2},\) представляющих общее решение дифференциального уравнения.

   Пример 3
Исследовать особые решения дифференциального уравнения \({\left( {y'} \right)^2}{\left( {1 - y} \right)^2} = 2 - y.\)

Решение.
Сначала найдем \(p\)-дискриминант данного уравнения. Дифференцируя уравнение по \(x,\) получаем: \[2y'{\left( {1 - y} \right)^2} = 0.\] Исключим производную \(y'\) из системы уравнений \[\left\{ \begin{array}{l} {\left( {y'} \right)^2}{\left( {1 - y} \right)^2} = 2 - y\\ y'{\left( {1 - y} \right)^2} = 0 \end{array} \right..\] В результате имеем: \[ {{\left( {y'} \right)^2} = \frac{{2 - y}}{{{{\left( {1 - y} \right)}^2}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{2 - y}}{{{{\left( {1 - y} \right)}^2}}} \cdot {\left( {1 - y} \right)^4} = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {1 - y} \right)^2}\left( {2 - y} \right) = 0.} \] Теперь определим \(C\)-дискриминант. К сожалению, для этого необходимо найти общее решение дифференциального уравнения :(. Перепишем уравнение в следующем виде: \[ {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = \frac{{2 - y}}{{{{\left( {1 - y} \right)}^2}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \pm \frac{{\sqrt {2 - y} }}{{1 - y}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{\left( {1 - y} \right)dy}}{{\sqrt {2 - y} }} = \pm dx.} \] Интегрируем обе части: \[\int {\frac{{\left( {1 - y} \right)dy}}{{\sqrt {2 - y} }}} = \pm \int {dx} + C.\] В левом интеграле сделаем замену переменной: \[ {2 - y = t,\;\; \Rightarrow dy = - dt,}\;\; {\Rightarrow 1 - y = t - 1.} \] В результате получаем: \[ {\int {\frac{{\left( {t - 1} \right)\left( { - dt} \right)}}{{\sqrt t }}} = \pm x + C,}\;\; {\Rightarrow \int {\left( {\sqrt t - \frac{1}{{\sqrt t }}} \right)dt} = \mp x - C,}\;\; {\Rightarrow \frac{{{t^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{\frac{3}{2}}} - \frac{{{t^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}}}{{\frac{1}{2}}} = \mp x - C,}\;\; {\Rightarrow \frac{2}{3}{t^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} - 2{t^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} = \mp x - C,}\;\; {\Rightarrow \frac{2}{3}{\left( {2 - y} \right)^{\large\frac{3}{2}\normalsize}} - 2{\left( {2 - y} \right)^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} = \mp x - C,}\;\; {\Rightarrow \frac{2}{3}\sqrt {2 - y} \left( {2 - y - 3} \right) = \mp x - C,}\;\; {\Rightarrow \frac{4}{9}\left( {2 - y} \right){\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x + C} \right)^2},}\;\; {\Rightarrow 4\left( {2 - y} \right){\left( {y + 1} \right)^2} = 9{\left( {x + C} \right)^2}.} \] Дифференцируем общее решение по \(C:\) \[0 = 18\left( {x + C} \right).\] Подставляя \(x + C = 0\) снова в общее решение, находим уравнение \(C\)-дискриминанта: \[{\left( {y + 1} \right)^2}\left( {2 - y} \right) = 0.\] Теперь запишем вместе уравнения обоих дискриминантов: \[{\psi _p}\left( y \right) = {\left( {1 - y} \right)^2}\left( {2 - y} \right) = 0,\] \[{\psi _C}\left( y \right) = {\left( {y + 1} \right)^2}\left( {2 - y} \right) = 0.\] Из структуры уравнений дискриминантов следует, что \(2 - y = 0\) является уравнением огибающей, поскольку это выражение содержится в обоих дискриминантах в первой степени.

Из выражения для \(p\)-дискриминанта можно также определить уравнение точек прикосновения: \[{\left( {1 - y} \right)^2} = 0,\;\; \Rightarrow y = 1.\] Аналогично, из формулы для \(C\)-дискриминанта находим уравнение узловых точек: \[{\left( {y + 1} \right)^2} = 0,\;\; \Rightarrow y = - 1.\] В данном примере лишь огибающая \(y = 2\) будет являться особым решением дифференциального уравнения.

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2016   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.